Leningrad 1988
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi bruker den andre betingelsen til å få $f(1000)f(f(1000))=1\iff f(999)=\frac{1}{999}$. Siden $999,\frac{1}{999}\in \operatorname{Im} f$ og $f$ er kontinuerlig så er også $500 \in \operatorname{Im} f$. Men
\[ f(x)f(f(x))=1\forall x\in \mathbb{R}\iff f(y)=\frac1y\forall y\in \operatorname{Im} f, \]
så $f(500)=\frac{1}{500}$.
Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.
\[ f(x)f(f(x))=1\forall x\in \mathbb{R}\iff f(y)=\frac1y\forall y\in \operatorname{Im} f, \]
så $f(500)=\frac{1}{500}$.
Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.
Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.stensrud skrev:Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.
Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.
Men ifølge oppgaven er f(1000)=999stensrud skrev:Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.