Integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Bestem
\[\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^2}{x^4+1}dx.\]
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Via $x \mapsto 1/x$ så er

$ \hspace{1cm}
\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} \frac{1}{1+x^4} \mathrm{d}x
$

Ved å legge sammen integralene får en

$ \hspace{1cm}
\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+1/x^2}{x^2+1/x^2} \mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+x^2}{(x-1/x)^2+2} \mathrm{d}x
$

Substitusjonen $u \mapsto x - 1/x$ gir da $\mathrm{d}u = \left( 1 + \frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$, slik at integralet kan skrives som

$ \hspace{1cm}
\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \frac{1}{u^2 + 2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\int_\mathbb{R} \frac{1}{y^2 + 1} \mathrm{d}y = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
$

Etter jeg skrev dette kom jeg på at det sannsynligvis står i integrasjonsnotatene mine. Fant det igjen på side 88 http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Inte ... eboken.pdf, er 93 i pedf'en. Men integralet er jo helt trivielt om en tillater seg å bruke Cauchys integrasjonsformel og enkel kompleks analyse.

EDIT: Fant og et annet bevis i notatene mine. M'en står bare for at integralet kan betraktes som en Mellin-transformasjon, ut at dette har noe å si for utregningen. Eneste som brukes er Eulers refleksjonsformel samt definisjonen av Beta-funksjonen.

Bilde
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Jeg mener svaret skal være $\pi/\sqrt{2}$, men ellers så ser alt riktig ut. Enig i det du sier om konturintegrasjon. Gjorde den litt annerledes, så legger ved min løsning:

Kall integralet over for $I$, og merk at
\begin{align*}
I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+1}dx&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2-i+i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2-i}{x^4+1}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+iI,
\end{align*}så
\[ I=\frac{1}{1-i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx. \]Men dette er bare et arctanintegral, med den generelle løsningen
\[ \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C, \]som betyr at
\[ I=\left[\frac{1}{(1-i)\sqrt{i}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{i}}\right)\right]^\infty_{-\infty}. \]Resten er bare å sette inn grenseverdiene og merke at $\frac{1}{(1-i)\sqrt{i}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, hvoretter vi får svaret $\boxed{I=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}$.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

stensrud skrev:Jeg mener svaret skal være $\pi/\sqrt{2}$, men ellers så ser alt riktig ut. Enig i det du sier om konturintegrasjon. Gjorde den litt annerledes, så legger ved min løsning:
Eni i det ja, blinga litt med den siste substitusjonen, skulle ha fått en kvadratrot oppe og ikke nede, og da ordenr alt seg.
stensrud skrev: Kall integralet over for $I$, og merk at
\begin{align*}
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2-i}{x^4+1}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
\end{align*}
Hva skjer i denne overgangen? Ser ikke helt ut som du bruker Caucys residue theorem, men kanskje det bare er meg som er trøtt.

Fant ut jeg har skrevet om omtrent det samme integralet i masteren hvor jeg bruker kompleks analyse, oi oi oi https://tinyurl.com/lmkmwl5. En får integralet ditt ved å sette $y=1$, og bruke substitusjonen $x \mapsto u^4$, også tipper jeg en må sette $s$ rundt 8. Kanskje enklere er å titte på https://math.stackexchange.com/question ... eorem?rq=1, svaret forklarer greit hvordan en kan få svaret ved å integrere rundt en kvartsirkel i første kvadrant.

Ellers er disse to https://math.stackexchange.com/question ... in-pi-n-wh, og https://math.stackexchange.com/question ... -arguments, fine om en ønsker å se på det mer generelle tilfellet.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Nebuchadnezzar skrev:
Hva skjer i denne overgangen? Ser ikke helt ut som du bruker Caucys residue theorem
Det er bare god gammeldags faktorisering :D:
\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2-i}{x^4+1}\ dx= \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2-i}{(x^2-i)(x^2+i)}\ dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+i}\ dx.\]
Takker for linkene.
Sist redigert av stensrud den 17/04-2017 13:13, redigert 1 gang totalt.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Da er jeg enig vet du ;) Fin løsning!
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Gjest

Hvordan blir $x^2 + i = x^2 + 1$?
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Gjest skrev:Hvordan blir $x^2 + i = x^2 + 1$?
Typo fixed.
Svar