matematikk.net

Finn et polynom med heltallige koeffisienter som har $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ som et av nullpunktene.

Hvis $x=\sqrt{2}+\sqrt{5}$, så er
\[
x^2=7+2\sqrt{10}\implies (x^2-7)^2=40\iff x^4-14x^2+9=0.
\]
Derfor funker polynomet $X^4-14X^2+9$. (Er ikke dette noe sånt minimal polynomial something something?)

Relatert oppfølger fra en gammel shortlist: Eksisterer det et polynom $P(x)$ med heltallskoeffisienter slik at $P(1+\sqrt 3) = 2+\sqrt 3$ og $P(3+\sqrt 5) = 3+\sqrt 5 $?

stensrud skrev:Hvis $x=\sqrt{2}+\sqrt{5}$, så er
\[
x^2=7+2\sqrt{10}\implies (x^2-7)^2=40\iff x^4-14x^2+9=0.
\]
Derfor funker polynomet $X^4-14X^2+9$. (Er ikke dette noe sånt minimal polynomial something something?)

Jepp, det er det minimale polynomet til x i ringen av polynomer med rasjonale koeffisienter:D

Eksisterer det et polynom $P(x)$ med heltallskoeffisienter slik at $P(1+\sqrt 3) = 2+\sqrt 3$ og $P(3+\sqrt 5) = 3+\sqrt 5 $?

La $Q(x)=P(x)-x$ så $Q(3+\sqrt{5})=0$. Da må $Q$ være et multiplum av det minimale polynomet til $\alpha=3+\sqrt{5}$ over $\mathbb{Q}$. Siden $\alpha^2-6\alpha+4=0$ er $x^2-6x+4$ det minimale polynomet. Da må $Q(x)=q(x)(x^2-6x+4)$. Siden $Q(x)$ har heltallige koeffisienter, må $q(x)$ være et polynom over $\mathbb{Z}$. Nå har vi at $Q(1+\sqrt{3})=1$, så innsatt fås $q(1+\sqrt{3})(2-4\sqrt{3})=1$. $q(1+\sqrt{3})$ kan skrives på formen $a+b\sqrt{3}$ for heltall $a,b$. Vi får da $2a-12b + (2b-4a)\sqrt{3}=1$. For at dette skal holde må $2a-12b=1$, noe som er umulig siden $gcd(2,12)> 1$. Altså fins ingen polynomer som oppfyller kriteriene.