Tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn alle heltallige løsninger av $2^x\cdot (4-x)=2x+4$
Gjest

plutarco skrev:Finn alle heltallige løsninger av $2^x\cdot (4-x)=2x+4$

[tex]2^x(4-x)=2x+4[/tex]
[tex]2^x(2^2-x)=2x+2^2[/tex]
[tex]2^{x+2}-x2^x=2x+2^2[/tex]
[tex]2^{x+2}-x2^{x}-2x-2^2=0\Rightarrow 2(2^x)-x(2^x)-2x-2^2=0[/tex]


[tex]x=\left \{ 0,1,2 \right \}[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Løsningene er jo riktige, men jeg skjønner ikke helt fremgangsmåten din. Det er også en feil i den siste implikasjonen.
Gjest

$2^x\cdot (4-x)=2x+4$

[tex]2^x*(2^2-x)=2x+2^2[/tex]

[tex]2^{x+2}-x2^x=2x+2^2[/tex]

[tex]2(2^{x+1}-x2^{x-1}-x-2)=0[/tex]

[tex]2^{x+1}-x2^{x-1}-x-2=0[/tex]

[tex]2(2^x)-x2^{-1}(2^x)-x-2=0[/tex]

[tex]y=2^x[/tex] [tex]y=2^x\Leftrightarrow x=\frac{ln(y)}{ln(2)}[/tex]


[tex]2y-x2^{-1}y-x-2=0[/tex]

[tex]2y-\frac{ln(y)}{ln(2)2}y-\frac{ln(y)}{ln(2)}-2=0[/tex]

Som ved videre betraktning gir det ønskede svaret.
stenvik team
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 29/11-2012 15:39

Hvis [tex]x>5[/tex] vil [tex]2^{x}*(4-x)<0[/tex]. Mens [tex]2x-4>0[/tex]

Så [tex]x<4[/tex]

Sjekker manuelt for løsninger fra 0-4 finner dermed ut at [tex]x=(0,1,2)[/tex] er løsninger

Sjekker for løsninger der x<0

Setter [tex]y=-x[/tex]
Har dermed ligningen [tex]\frac{y+4}{2^{y}}=4-2y[/tex]

Ser lett at hvis [tex]y\in\mathbb{Z}[/tex] så må [tex](4-2y)\in\mathbb{Z}[/tex]

Ser også lett siden [tex]2^y[/tex] vokser raskere enn [tex]4+y[/tex], så dermed vill [tex]\frac{4+y}{2^y}\notin\mathbb{Z}[/tex] når [tex]2^y>4+y[/tex]

Dette skjer når [tex]y\geq3[/tex]

Sjekker tilslutt om [tex]y=(1,2)[/tex]er løsninger.(som de ikke er)

Har dermed vist at [tex]x=(0,1,2)[/tex] er de eneste heltallsløsningene
Svar