Geometri (Georg Mohr)

[Gustav]

Figuren viser en bue $l$ på enhetssirkelen, samt to områder $A$ og $B$.



Vis at arealet av $A$ pluss arealet av $B$ er lik lengden av $l$.

[Emilga]

Her er den vist for spesialtilfellet at nederste punkt på $l$ er $(1,0)$.

buelengde.png (37.09 kiB) Vist 2069 ganger

Buelengden er lik: $l = r\alpha = \alpha$.

Område A = Rektangel(AECF) + Areal(CED).
Område B = Areal(CED).

Vil vise at $l$ = Område A + Område B = Rektangel(AECF) + 2*Areal(CED).


Ser at: Rekangel(AECF) = $xy$.

Areal(CED) = Sirkelsektor($\alpha$) - Trekant(AEC).
Sirkelsektor($\alpha$) = $\pi r^2 \frac \alpha{2\pi} = \frac 12 r^2 \alpha = \frac 12 \alpha$.
Trekant(AEC) = $\frac 12 xy$.
Altså er Areal(CED) = $\frac 12 \alpha - \frac 12 xy$

Kombinerer alt:

Område A + Område B = $xy + 2\cdot \left( \frac 12 \alpha - \frac 12 xy \right) = xy + \alpha - xy = \alpha = l$, som skulle vises.