Omvendt Fermat
Lagt inn: 09/11-2017 16:39
La $p$ være et primtall. Vis at dersom $x^k\equiv 1\pmod p$ for alle $x\not\equiv 0\pmod p$, så vil $p-1$ dele $k$.
her er jeg ikke sikker, men:Gustav skrev:La $p$ være et primtall. Vis at dersom $x^k\equiv 1\pmod p$ for alle $x\not\equiv 0\pmod p$, så vil $p-1$ dele $k$.
Jepp, hadde en forholdsvis lik løsning: Skriv $k=n(p-1)+d$ der $0\leq d<p-1$. Fra Fermats lille teorem vil $x^k=x^{n(p-1)+d}=(x^{p-1})^n\cdot x^d\equiv x^d\equiv 1$. Anta $d>0$. Siden den multiplikative gruppen $Z_p^{\times}$ er syklisk fins et element $g$ som genererer gruppa, men siden $g^d=1$, så får vi motsigelsen. Dermed må $d=0$ og $k=n(p-1)$, så $p-1|k$.mingjun skrev:Gitt at $ord_p(x)|p-1$ for alle $x\not\equiv 0$, trenger vi kun å vise at det finnes et tall $x$ slik at $ord_p(x)=p-1$. Men gitt at det alltid eksisterer primitive røtter modulo et primtall, er vi ferdige.