Ni punkt i Z^3

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Betrakt ni punkt i rommet, slik at alle de ni punktene har heltallskoordinater. Tegn så linjestykker slik at du kobler alle par av punkter. Vis at det må eksistere et punkt på innsiden (dvs. ikke randen) til et av disse linjestykkene som også har heltallskoordinater.
annalyu
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 27/03-2017 20:06

La punktene hete [tex](x_{1}, y_{1}, z_{1}) \dots (x_9,y_9,z_9), (x_i,y_i,z_i) \in \mathbb{Z}^3[/tex] for [tex]1\leq i \leq 9[/tex].

Dersom vi ser på forskjellige kombinasjoner av paritetene til de tre komponentene, ser vi at x, y og z kan alle være par tall eller odde tall, og vi har derfor [tex]2^3 = 8[/tex] kombinasjoner av paritetene. Siden vi har 9 punkter, må det eksistere minst to punkter som har samme kombinasjon.

Anta wlog at dette er punktene [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] og [tex](x_2,y_2,z_2)[/tex]. Siden [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] har samme paritet, vet vi at [tex]x_2 + x_1[/tex] er et partall, og det samme gjelder for [tex]y_2 + y_1[/tex] og [tex]z_2+z_1[/tex]. Da vet vi at midtpunktet på linjestykket mellom [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] og [tex](x_2,y_2,z_2)[/tex] har heltallige koordinater, nemlig [tex]( \frac{x_1 +
x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})[/tex]
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Perfekt! :D
Svar