matematikk.net

Finn den maksimale verdien av $\frac{ab}{4(a+b)^2}$ der $a,b$ er positive reelle tall.

Gustav skrev:Finn den maksimale verdien av $\frac{ab}{4(a+b)^2}$ der $a,b$ er positive reelle tall.

må vel være der a=b, slik at:

[tex]a^2/(4*(2a)^2) = a^2/(4*4*a^2)=1/16[/tex]

Brøken [tex]\frac{ab}{4(a+b)^2}[/tex] kam omskrivast til

[tex]\frac{1}{4(\frac{a}{b} + 2 +\frac{b}{a})}[/tex] gitt at a og b [tex]\neq[/tex] 0

Innfører ny variabel x = [tex]\frac{a}{b}[/tex] , Da kan vi skrive

f( x ) = [tex]\frac{1}{4(x + 2 + \frac{1}{x})}[/tex] , x > 0

Likninga f'(x) = 0 har løysinga x = 1 og f''(1) = - [tex]\frac{1}{8}[/tex]

Dette viser at f(x)[tex]_{max}[/tex] = f( 1 ) = [tex]\frac{1}{16}[/tex]

Supplement til forrige innlegg:

Linje nr. 2 skal være:[tex]\frac{1}{4(\frac{a}{b} +2 + \frac{b}{a})}[/tex] gitt at a og b [tex]\neq[/tex] 0 , samt at a og b har samme fortegn.

Linje nr. 5 skal være: Likninga f'( x ) = 0 har løysinga x = 1 og f''( 1 ) = -[tex]\frac{1}{8} < 0[/tex]

Fin løsning!

Alternativt går det an å bruke en kjent ulikhet for å vise det samme.

Takk for interessant tilbakemelding. Kan finne maks-verdien ved å bruke GM[tex]\leq[/tex]Am-ulikheten:

[tex]\sqrt{\frac{a}{2(a+b)}\cdot \frac{b}{2(a+b))}} \leq \frac{\frac{a}{2(a+b))}+\frac{b}{2(a+b)}}{2} = \frac{1}{4}[/tex]

OYV skrev:Takk for interessant tilbakemelding. Kan finne maks-verdien ved å bruke GM[tex]\leq[/tex]Am-ulikheten:

[tex]\sqrt{\frac{a}{2(a+b)}\cdot \frac{b}{2(a+b))}} \leq \frac{\frac{a}{2(a+b))}+\frac{b}{2(a+b)}}{2} = \frac{1}{4}[/tex]

Ja, det var dette jeg siktet til. Bra!