Jeg hang med på dette i starten, men videre i innlegget så gjør du mye jeg ikke forstår bæra av, hehe. Allikevel, så fikk det meg til å forstå at uendelige summer strengt tatt er en grenseverdi!plutarco skrev:Det er noen tekniske forutsetninger for at man kan bytte om rekkefølgen på grenseverdier, som må være oppfylt for at de bevisene over er riktige. Det fins eksempler på at for visse følger $a_{n,m}$ så er $\lim_{n\to\infty} \lim_{m\to \infty} a_{n,m}\neq \lim_{m\to\infty} \lim_{n\to \infty} a_{n,m}$.mattemarkus skrev:Denne forsto jeg ikke så mye av. Hva vil det si å konvergere uniformt på kompakte delmengder?plutarco skrev:PS: Leddvis derivasjon av taylorrekka er lov fordi taylorrekker konvergerer uniformt på kompakte delmengder.
F.eks. hvis $a_{n,m}=\frac{n}{n+m}$, så er $\lim_{n\to\infty} \lim_{m\to \infty} \frac{n}{n+m}=0$, mens $\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+m}=1$.
Vi får en lignende situasjon når vi skal ta grenseverdien
$\lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$.
Fordi dette betyr egentlig
$\lim_{\Delta x\to 0} \lim_{m\to \infty }\sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$
Det går an å vise at vi her har lov til å bytte om rekkefølgen, slik at vi får
$\lim_{m\to \infty } \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$.
Og da blir $\lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}=1$, så
$\lim_{m\to \infty } \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}=1$
Poenget er at endringen av rekkefølgen av grensene generelt sett ikke er uproblematisk. Men her går det bra fordi $\sum_{n=0}^{m} \frac{(\Delta x)^n}{(n+1)!}$ såkalt konvergerer uniformt.
Men, du behøver ikke tenke altfor mye på dette foreløpig. Dette er pensum først på universitetet, trolig i reell analyse.
Tusen tusen takk for god hjelp med beviset og hjelp som går grundig til verks!