R1 eksamen

[Vektormannen]

Ikke umiddelbart. Hva tenker du på?

[Hoksalon]

Oppgavene var vel helt ok. Kanskje litt vanskelige, ut i fra det jeg har sett. Det er etter min mening veldig dristig å benytte parameterframstilling. Jeg kjenner en som ikke fant ut hvordan han benyttet parameterframstilling i GeoGebra, slik at han måtte tegne den for hånd. For mindre gode elever kan jo dette være en skikkelig teit oppgave.

Men så er ikke jeg så veldig for bruk av digitale hjelpemidler i matematikk heller da.

[2357]

Ikke umiddelbart. Hva tenker du på?

b) Vis at [tex]\alpha = \beta - 15^\circ[/tex]

c) Vis at [tex]\alpha = \beta[/tex]

[Vektormannen]

Det står da =, ikke -?

EDIT: Ser det er vanskelig å se det på den scannede versjonen som er linket til her. Ta heller å last ned pdf-en som Janhaa linket til på diskusjon.no: http://www.diskusjon.no/index.php?showt ... p=19967878

[2357]

Jeg åpnet bare den fra espensva. Der står det minus.

[Fibonacci92]

Åja! Det burde jeg klart å tenke meg frem til:)

[Nebuchadnezzar]

R1 - Eksamen - 29.11.12

Del I

Oppgave 1

a) [tex]f^\prime(x) = 2 \cdot 2(2x-1) = 4 \cdot (2x-1)[/tex]

b) [tex]g^\prime(x) = \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}} = (x-1)(x^2-2x)^{-1/2}[/tex]

c) [tex]h^\prime(x) = 3 x^2 \cdot e^{2x} +2 x^3 \cdot e^{2x} = x^2(2x+3) e^{2x} [/tex]

Oppgave 2

a) [tex]f(3) = 3^3 - 3^3 + 3k + 3 = 0 \ \Rightarrow \ k=-1[/tex]

b) KJEDELIG

[tex]\begin{array}{ll} f(x) & = x^3 - 3x^2 - x + 3 \\ & = x^2(x-3) - (x-3) \\ & = (x-3)(x^2-1) \\ & = (x-3)(x+1)(x-1) \end{array}[/tex]

Oppgave 3

a) [tex] a) f^{\prime\prime} = (3x^2 - 6x - 1)^\prime = 6(x - 1) [/tex]

Så [tex] ( 1, f(1)) = (1,0) [/tex] er et vendepunkt på grafen.

b) [tex] f^\prime(1) = 3 - 6 - 1 = -4[/tex]. Slik at tangenten vil være på formen

[tex]y = -4x + b[/tex], vi vet og at tangenten går gjennom punktet (1,0) slik at

[tex]0 = -4 + b[/tex] så likningen for tangenten må være

[tex]y = -4x + 4[/tex]

Oppgave 4

a) Han delte på null, smekk på pungen. Burde ha faktorisert... se på tegning.

b)

[tex] (x-1)(x-3) = (x-1)[/tex]

[tex] (x-1)(x-3) - (x-1) = 0[/tex]

[tex] (x-1)[(x-3) - 1] = 0 [/tex]

[tex] (x-1)(x-4) = 0 [/tex]

[tex] x=1 \ \vee \ x = 4 [/tex]

[tex]g(1)[/tex] gir [tex]0[/tex] altså punktet [tex](1,0)[/tex]
Tilsvarende gir [tex]x=4[/tex] oss [tex]g(4)=3[/tex] oss det andre skjæringspunktet [tex](3,4)[/tex]

Oppgave 5

[tex]AF = FB = x[/tex] slik at [tex]AFB[/tex] har sider [tex]x[/tex], [tex]x[/tex] og [tex]a[/tex].
Da må vinkel [tex]A[/tex] være lik vinkel [tex]B[/tex]. Siden vi er i et kvadrat vil vinkel [tex]A[/tex] være 45 grader. Da diagonalen halverer vinkelen

[tex]180 = A + A + F \ \Rightarrow +\ F = 90[/tex]

og vi er ferdige.

b) Arealet av AFB, FBC, CDF og DFA er like store.

arealet at AFB er [tex]AF \, \cdot \, FB / 2[/tex] (se a)

Så arealet av hele sjalabaisen blir

[tex]A = 4 \cdot AF \cdot FB = 4 \cdot \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}AC\right)\left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{2} AC \cdot BC[/tex]

som ønsket.

Oppgave 6

a)

[tex]\begin{array}{ll} 3^{4x} + 7 & = 34 \\ 3^{4x} = 3^{3} \\ x & = \frac{3}{4} = 0.75\end{array} [/tex]

Samme argument som på b, for at dette er eneste løsning.

b)

[tex]\lg x \, + \, \lg (x-1) \, = \, \lg 2[/tex]
[tex]\lg x \, + \, \lg (x-1) \, = \, \lg 2 + \overbrace{\lg(2-1)}^{\large 0}[/tex]

så [tex]x=2[/tex]. Siden HS vokser for alle verdier av x, er dette eneste løsning.

Oppgave 7

a) Da må [tex]AB[/tex] og [tex]AC[/tex] stå vinkelrett på hverandre

[tex](4,3) \cdot (-3,t) = 0 \ \Rightarrow \ t = 4[/tex]

b) Et punkt på [tex]P[/tex] på [tex]BC[/tex] kan skrives som [tex]P = \overrightarrow{OB} + C[/tex] som gir [tex]P(7k,-k+4)[/tex].

Altså må vi minimere avstanden mellom [tex]P[/tex] og [tex]A[/tex], da fås

[tex]d(P,A) = \sqrt{(7k-3)^2 + (4 - k)^2}[/tex]

Derivasjon av alt som står under rottegnet gir oss

[tex]d^\prime(P,A) \sim 14(7k-3) - 2(4-k) = 100k - 50[/tex]

Altså er avstanden minst når [tex]k=1/2[/tex], da er avstanden

[tex]\min(d(k)) = \sqrt{(7/2-3)^2 + (4 - 1/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (7/2)^2} = \sqrt{ \frac{50}{4}} = \frac{5}{\sqrt{2}}[/tex]

30m

Del II

Oppgave 1

a) Stress

[tex]|AB| = 6, |AC| = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}[/tex]
[tex]AC \cdot AB = (4,4) \cdot (6,0) = 24[/tex]

[tex]A = \arccos\left( \frac{AC \cdot AB}{|AC||AB|}\right) = \arccos\left( \frac{24}{4 \sqrt{2} \cdot 6}\right) = \arccos\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ[/tex]

b) Linja [tex]BC[/tex] går [tex]-3[/tex] bortover [tex]x[/tex], fra [tex]B[/tex] til [tex]C[/tex]. Da må [tex]AD[/tex] gå [tex]-3[/tex] fra [tex]A[/tex] til [tex]D[/tex]. Slik at [tex]D(-3,4)[/tex].

c) [tex]4(1,1) \cdot (t - 6,4) \,= \, 0 \ \Rightarrow \ \,t - 6 + 4 \,=\, t = 2[/tex]

Altså må vi velge [tex]t = 2[/tex]

Oppgave 2

a) Jente og buss

[tex]P(J \cap B) = \frac{94}{350} = \frac{47}{175} \approx 0.26857[/tex]

b) Sannsynlighet for for sent

[tex]P(B) = \frac{71+94}{350} = \frac{165}{350} = \frac{2}{2} \cdot \frac{16.5}{35} = \frac{33}{70} \approx 0.47143[/tex]

Anta eleven er jente, hva er sannsynligheten for at ei jente kommer for sent?

[tex]P(B) \neq P(B \mid J) = \frac{94}{168} = \frac{47}{84} \approx 0.55952[/tex]

Nei, hendelsene er ikke uavhengige.

c) Anta elev er kommer for sent, hva er sannsynligheten for at eleven er jente?

[tex]\frac{94}{94+71} = \frac{94}{165} \approx 0.56970[/tex]

Oppgave 2

a) KJEDELIG

b)[tex] \frac{1}{4}t^2 - 3t = 0 \ \Rightarrow \ t = 0 \, \vee \, t = 12[/tex]

Så skjærer [tex]x[/tex]-aksen i punktene [tex](0,-5)[/tex] og [tex](0,22/3)[/tex].
Tilsvarende får vi for [tex]y[/tex]-aksen

[tex](t^2 - 5t + 4 )/ t = (t-1)(t-4)/t[/tex]

så den skjærer [tex]y[/tex]-aksen i punktene [tex](-11/4,0)[/tex] og [tex](-8,0)[/tex]

c) [tex]v(t) = (\frac{1}{2} \cdot t + 3,1 - 4 t^{-2})[/tex]

[tex]|v(5)| = \sqrt{ \frac{1}{2} \cdot 5 + 3)^2 \left( 1- \frac{4}{5^2}\right)^2 } = \sqrt{\frac{2389}{2500}} \approx 0.97754[/tex]

Oppgave 4

a) Siden DE og AB er parallelle vil vinkel

A være lik med vinkel D (altså DAF og CDE). Tilsvarende argument brukes til å vise at vinkel B er lik vinkel E. Siden to vinkler i trekantene er like, må den siste og være lik. Og trekantene er formlike

Avstanden fra C til AB kan skrive som 8, via formlikhet får vi at

[tex]\frac{8}{6} = \frac{8-h}{x}[/tex]

[tex]\frac{4}{3}x = 8 - h[/tex]

[tex]h = 8 - \frac{4}{3}x[/tex]

b) [tex] T(x) = \frac{1}{2} hx = 4x - \frac{4}{3}x^2 [/tex]

c) [tex]T(x) = - \frac{2}{3}(x-3)^2 + 6[/tex]

Minste arealet er altså når [tex]x=3[/tex], da er arealet [tex]6[/tex]. Da er grunnflaten i alle trekantene den samme, og høyden.

Oppgave 5

a)

[tex]x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 = 0[/tex]

[tex]x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4+5[/tex]

[tex](x-1)^2 + (y+2)^4 = 3^2[/tex]

Sentrum [tex](1,-2)[/tex] og radius [tex]3[/tex].

b)

[tex]x^2 + 2t x + y^2 - 4y + 9 = 0[/tex]

Setter vi inn [tex]y=0[/tex], (som er på x-aksen) fås

[tex]x^2 + 2t x + 9 = 0[/tex]

Fra formel fås

[tex]x = - t \pm \sqrt{t^2 - 9}[/tex]

som har nøyaktig en løsning når [tex]t = \pm 3[/tex].

Oppgave 6

Orker ikke...

[Vektormannen]

Oppgave 6

a) Vi har at buen DC er [tex]\stackrel{\frown}{DC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ[/tex]. Da er [tex]\stackrel{\frown}{DCB} = v + \stackrel{\frown}{CD} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ[/tex]. Vinkel BAD er en periferivinkel over buen DCB, og derfor er [tex]\angle BAD = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{DCB} = 75^\circ[/tex].

b og c) Tar disse to i lag da tankegangen vel så og si blir den samme, bare at man ikke har konkrete tall i c).

Se på trekant AQC. Vi har i denne trekanten at [tex]\angle A = \frac{v}{2}[/tex] og [tex]\angle C = 180^\circ - \angle ACD = 180^\circ - \frac{u}{2}[/tex]. I og med at vinkelsummen i en trekant er [tex]180^\circ[/tex] så får vi da [tex]\beta = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - \frac{v}{2} - (180^\circ - \frac{u}{2}) = \frac{u-v}{2}[/tex].

Se så på trekant APC. Her er [tex]\angle A = \frac{\stackrel{\frown}{DC}}{2}[/tex] og [tex]\angle C = 180^\circ - \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}[/tex], og ved å benytte vinkelsummen blir [tex]\alpha = \frac{\stackrel{\frown}{AB} - \stackrel{\frown}{DC}}{2}[/tex]. I og med at AC er diameter i sirkelen får vi at [tex]\alpha = \frac{180^\circ - v - (180^\circ - u)}{2} = \frac{u-v}{2} = \beta[/tex].

(I b) får vi da [tex]\alpha = \beta = \frac{120^\circ - 90^\circ}{2} = 15^\circ[/tex].)

[Urosmooth]

Er ikke noen racer i matte men, er ikke oppgave Del 2 2b feil? dele på null blir tull, så punktet (0,-5) eksisterer ikke.

Og oppgave 4b) 0.5(8-(4/3)*x)*x= 4x-(2/3)*x^2 og ikke 4x-(4/3)*x^2 ???

Og oppgave 4c) Blir ikke T(x)'= 4-(4/3)*x=0 x=3 ????

Skal også stå største arealet.

Noen mere skilla personer kan jo dobbeltsjekke

[Vektormannen]

2b) Du har rett. Her har Nebu sikker glemt å sjekke at t = 0, som gir nullpunkt for x-koordinaten, gir deling på 0 i y-koordinaten (og t = 0 er uansett ikke med i intervallet som er oppgitt for t).

4b) Du har rett. Sikkert slurv.

4c) Du kan derivere og finne x på den måten, men det Nebu har gjort er ikke galt. Han har skrevet om funksjonen til et fullstendig kvadrat pluss et ledd. Så bruker han at funksjonen er størst mulig når [tex](x-3)^2 = 0[/tex], altså når x = 3.

[Johan Nes]

Komplett og litt mer forklarende løsningsforslag.

http://www.diskusjon.no/index.php?showt ... 8483&st=20