Noen som gidder å dytte meg i riktig retning. Har kladda og prøvd en del. Men skriver ikke alt inn her.
Sjekk pdf-fila under.
Matriser og div grupper
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
b) Her kan du bruke "two-step subgroup test": https://en.wikipedia.org/wiki/Subgroup_test
Det holder altså å vise at $N_p$ er lukket under matrisemultiplikasjon (dvs. $x,y\in N_p \Rightarrow xy\in N_p$) og at den inverse av et element i $N_p$ også er med i $N_p$. Vi ser lett at $\begin{pmatrix} 1&b\\0&1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-b\\0&1 \end{pmatrix}$
c) Semidirekteprodukt er ekvivalent med at $G_p=N_pH_p$ (hvert element i $G_p$ kan skrives som produkt av et element i $N_p$ og et i $H_p$) der $N_p$ er normal og $N_p\cap H_p= e$ der $e$ er identiteten $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
Det holder altså å vise at $N_p$ er lukket under matrisemultiplikasjon (dvs. $x,y\in N_p \Rightarrow xy\in N_p$) og at den inverse av et element i $N_p$ også er med i $N_p$. Vi ser lett at $\begin{pmatrix} 1&b\\0&1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-b\\0&1 \end{pmatrix}$
c) Semidirekteprodukt er ekvivalent med at $G_p=N_pH_p$ (hvert element i $G_p$ kan skrives som produkt av et element i $N_p$ og et i $H_p$) der $N_p$ er normal og $N_p\cap H_p= e$ der $e$ er identiteten $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
[tex]G_p=\left \{ \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b\in \mathbb{Z}_p \right \}[/tex], [tex]N_p=\left \{ \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid x\in \mathbb{Z}_p \right \}[/tex], [tex]H_p=\left \{ \begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid y\in \mathbb{Z}_p^* \right \}[/tex]
For å vise at [tex]N_p[/tex] og [tex]H_p[/tex] er undergrupper av [tex]G_p[/tex], må vi vise:
[tex]\phi: N_p\rightarrow \mathbb{Z}_p[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto x[/tex]
[tex]\psi: H_p\rightarrow \mathbb{Z}_p^*[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto y[/tex], og vis at kjernen er identiteten i begge, og at begge er surjektive.
For å vise at [tex]N_p[/tex] og [tex]H_p[/tex] er undergrupper av [tex]G_p[/tex], må vi vise:
- Begge er undermengder av [tex]G_p[/tex].
Dette er greit, siden [tex]a=1, b=x[/tex] gir [tex]N_p[/tex], og [tex]a=y, b=0[/tex] gir [tex]H_p[/tex] - Begge er lukket under matrisgangingen. Også greit:
For [tex]N_p[/tex]: [tex]\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x'\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & x+x'\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
For [tex]H_p[/tex]: [tex]\begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y' & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\cdot y' & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] - Begge har multiplikativ identitet, og inverser. Greit:
For [tex]N_p[/tex]: identitetsmatrisen fungerer, og invers fås med [tex]-x[/tex] istedet for [tex]x[/tex]
For [tex]H_p[/tex]: identitetsmatrsien fungerer også her, og invers fås med [tex]y^{-1}[/tex] istedet for [tex]y[/tex]
[tex]\phi: N_p\rightarrow \mathbb{Z}_p[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto x[/tex]
[tex]\psi: H_p\rightarrow \mathbb{Z}_p^*[/tex], slik at [tex]\begin{pmatrix} y & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto y[/tex], og vis at kjernen er identiteten i begge, og at begge er surjektive.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford