deriverbarhet og kontinuerlig- samme ting?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Legger bare til et bevis her.
Deriverbarhet $\Rightarrow$ kontinuitet: La $E \subseteq \mathbb{R}$ og la $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ være deriverbar i et punkt $a \in E$. Da får vi at $$\lim_{x\to a} f(x) - f(a) = \lim_{x\to a} \left(x - a\right)\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0\cdot f'(a) = 0,$$ så $f$ er kontinuerlig i punktet $a$.
Kontinuitet $\nRightarrow$ deriverbarhet: Funksjonen $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$ er kontinuerlig overalt, men ikke deriverbar i punktet $0$ (enkelt å vise).
Deriverbarhet $\Rightarrow$ kontinuitet: La $E \subseteq \mathbb{R}$ og la $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ være deriverbar i et punkt $a \in E$. Da får vi at $$\lim_{x\to a} f(x) - f(a) = \lim_{x\to a} \left(x - a\right)\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0\cdot f'(a) = 0,$$ så $f$ er kontinuerlig i punktet $a$.
Kontinuitet $\nRightarrow$ deriverbarhet: Funksjonen $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$ er kontinuerlig overalt, men ikke deriverbar i punktet $0$ (enkelt å vise).
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
hco96 skrev:Hvordan leser man dette? Om jeg tør spørreDennisChristensen skrev: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$
En funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som sender $x$ til $|x|$.
Takker og bukker, er det noen åpenbare fordeler ved å bruke denne notasjonen?DennisChristensen skrev:hco96 skrev:Hvordan leser man dette? Om jeg tør spørreDennisChristensen skrev: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$
En funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som sender $x$ til $|x|$.
[tex]\oint_C{f(z)dz} = 0[/tex]