[tex]\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c[/tex] , [tex]x \in \left [ 0, 2 \pi \right ][/tex].
For hvilke verdier av [tex]c[/tex] har denne likningen én løsning to løsninger og null løsninger
Noen som har noen tips her siden jeg kommer bare så langt:
omformer likninga til denne formen her
[tex]2sin(x+\frac{\pi}{6})=c[/tex]
[tex]sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{c}{2}[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right )+2\pi n[/tex]
eller
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\left (\pi-sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right ) \right )+2\pi n[/tex]
men her sitter jeg litt fast
Da oppgaven spør etter 1, 2 og 0 løsninger kan jeg tenke meg at oppgaver legger til rette for å utlede abc-formelen og dermed betrakte radikanden?
vet i allefall at [tex]sinx \in \left [ -1,1 \right ][/tex], så dermed kan ikke [tex]c>\sqrt{3} \vee c<-\sqrt{3}[/tex], da får vel vi ingen løsninger,
man får 1 løsning hvis [tex]\phi= \frac{\pi}{2}[/tex] ? men veldig usikker på fremgangsmåte her.
trignometrisk likning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Vi skriver likningen som $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{c}{2}.$$ La $y = x + \frac{\pi}{6}$ og $d = \frac{c}{2}$. Vi ønsker å vite hvor mange løsninger likningen $$\sin y = d,\text{ }\text{ } y \in \left[\frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}\right]$$ har for ulike verdier for $d$.Gjest skrev:[tex]\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c[/tex] , [tex]x \in \left [ 0, 2 \pi \right ][/tex].
For hvilke verdier av [tex]c[/tex] har denne likningen én løsning to løsninger og null løsninger
Noen som har noen tips her siden jeg kommer bare så langt:
omformer likninga til denne formen her
[tex]2sin(x+\frac{\pi}{6})=c[/tex]
[tex]sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{c}{2}[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right )+2\pi n[/tex]
eller
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\left (\pi-sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right ) \right )+2\pi n[/tex]
men her sitter jeg litt fast
Da oppgaven spør etter 1, 2 og 0 løsninger kan jeg tenke meg at oppgaver legger til rette for å utlede abc-formelen og dermed betrakte radikanden?
vet i allefall at [tex]sinx \in \left [ -1,1 \right ][/tex], så dermed kan ikke [tex]c>\sqrt{3} \vee c<-\sqrt{3}[/tex], da får vel vi ingen løsninger,
man får 1 løsning hvis [tex]\phi= \frac{\pi}{2}[/tex] ? men veldig usikker på fremgangsmåte her.
Vi kan umiddelbart konkludere med at likningen har null reelle løsninger når $|d| > 1$, slik du alluderte til.
I tilfellet hvor $|d| \leq 1$ bruker vi enhetssirkelen. Vi ser at likningen har én løsning når $d = 1$ eller $d = -1$ (nemlig henholdsvis $y = \frac{\pi}{2}$ og $y = \frac{3\pi}{2}$), tre løsninger når $d = \frac12$ (nemlig $y = \frac{\pi}{2}, \pi - \frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}$) og ellers to løsninger.
Dermed får vi at den originale likningen har $$ \begin{Bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{Bmatrix} \text{ løsninger når } \begin{Bmatrix} |c| > 2 \\ c = \pm 2 \\ c \in \left(-2, 1\right) \cup \left(1, 2\right) \\ c = 1 \end{Bmatrix}. $$
men når [tex]d=1[/tex]
blir det ikke
[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]
dvs 1 løsning?
blir det ikke
[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]
dvs 1 løsning?
Gjest skrev:men når [tex]d=1[/tex]
blir det ikke
[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]
dvs 1 løsning?
jeg bare kødda, så det nå
takk! har du noen tips for hvordan man skal angripe slike oppgaver?
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Det er kun én løsning for $d = 1$, ja. Se nøye på enhetssirkelen, så ser du det nok.Gjest skrev:Gjest skrev:men når [tex]d=1[/tex]
blir det ikke
[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]
[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]
dvs 1 løsning?
jeg bare kødda, så det nå
takk! har du noen tips for hvordan man skal angripe slike oppgaver?
En slik oppgave som dette er jo noe av det mest krevende som forventes innen trigonometrien i R2, nettopp fordi oppgaven krever god kontroll over manipulasjon av trigonometriske uttrykk, trigonometriske likninger og forståelse av enhetssirkelen. Mitt råd vil være å lete etter sammenhenger mellom de algebraiske uttrykkene du skriver ned og geometrien i enhetssirkelen, og å gjøre mange oppgaver.