Hvorfor sin^-1 ?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Når en kjenner verdien av sin v eller cos v, hvorfor tar en sin "opphøyd" i -1? Hva er det kalkulatoren egentlig gjør under den operasjonen? Hva er tankegangen bak å bruke sinusverdien til å finne vinkelen?
Det er litt notasjonskrøll her.
Når vi har tall opphøyd i -1, så mener vi den multiplikative inversen av tallet. Med andre ord $k^{-1} = \frac1{k^1}$.
Når vi tar en funksjon "opphøyd" i -1, så mener vi den funksjonelle inversen. Det vil si en funksjon som reverserer det den opprinnelige funksjonen gjorde.
Eksempel: Hvis vi tenker på funksjonen $f(x) = x-1$, så finnes det en funksjon $g$ som gjør at $g(f(x)) = x$.
$g(x) = x+1$ vil gjøre dette. $g(f(x)) = g(x-1) = (x-1) + 1 = x$.
Altså, hva enn $f$ gjør med $x$, så vil $g$ gjøre det motsatte, slik at bare $x$ står igjen.
I tilfellet $\sin(x)$ så finnes det en funksjon vi kaller $\sin^{-1}(x)$ som fungerer slik at $\sin^{-1}(\sin(x)) = x$.
Det gjør at hvis vi vet at $\sin(x) = 0.5$, så kan vi finne hva $x$ er ved å bruke den inverse funksjonen på begge sider.
$\sin^{-1}(\sin(x)) = \sin^{-1}(0.5)$
På venstre side har vi altså bare $x$, og på høyre side får du hva enn kalkulatoren sier at $\sin^{-1}(0.5)$ er.
Sånn finner vi $x$ i trigonometriske likninger.
Så bare for å gjenta; det at vi skriver dette som $\sin^{-1}$ er bare gjenbruk av notasjon. Det skal ikke ses på som en eksponent.
Når vi har tall opphøyd i -1, så mener vi den multiplikative inversen av tallet. Med andre ord $k^{-1} = \frac1{k^1}$.
Når vi tar en funksjon "opphøyd" i -1, så mener vi den funksjonelle inversen. Det vil si en funksjon som reverserer det den opprinnelige funksjonen gjorde.
Eksempel: Hvis vi tenker på funksjonen $f(x) = x-1$, så finnes det en funksjon $g$ som gjør at $g(f(x)) = x$.
$g(x) = x+1$ vil gjøre dette. $g(f(x)) = g(x-1) = (x-1) + 1 = x$.
Altså, hva enn $f$ gjør med $x$, så vil $g$ gjøre det motsatte, slik at bare $x$ står igjen.
I tilfellet $\sin(x)$ så finnes det en funksjon vi kaller $\sin^{-1}(x)$ som fungerer slik at $\sin^{-1}(\sin(x)) = x$.
Det gjør at hvis vi vet at $\sin(x) = 0.5$, så kan vi finne hva $x$ er ved å bruke den inverse funksjonen på begge sider.
$\sin^{-1}(\sin(x)) = \sin^{-1}(0.5)$
På venstre side har vi altså bare $x$, og på høyre side får du hva enn kalkulatoren sier at $\sin^{-1}(0.5)$ er.
Sånn finner vi $x$ i trigonometriske likninger.
Så bare for å gjenta; det at vi skriver dette som $\sin^{-1}$ er bare gjenbruk av notasjon. Det skal ikke ses på som en eksponent.