IMO funksjonal
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg er sjefs-amatør når det gjelder disse oppgavene, men synes funksjonal likninger er fascinerende.plutarco skrev:Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ for alle $x,y$.
Etter mye prøving, feiling og kladd, satte jeg f(x) = f(y) og derfor er vel f(x) injektiv !?
Videre satte jeg: x = 0, y = 0 og x = 1, y = 0 og x = 0 og y = 1 etc.
En åpenbar løsning er nok[tex]\,f(x) = 0,[/tex] og trolig [tex]\,f(x) = x - 1 \,\,og \,\, f(x) = 1 - x?[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Mer formelt, antar lineær funksjon/løsning;
[tex]f(x) = ax + b[/tex]
[tex]f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)[/tex]
=>
lar [tex]\,y = x[/tex]
[tex]f(f(x)f(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]
[tex]f(f^2(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]
[tex](a(ax+b)^2+b) + (a(2x)+b) = ax^2+ b[/tex]
[tex]a((ax)^2 + 2abx + b^2) + b + 2ax + b = ax^2 + b[/tex]
[tex]a^3x^2 + (2a^2b+2a)x + (ab^2+2b) = ax^2 + b[/tex]
Sammenlikner koeffisienter;
[tex]a^3 = a[/tex]
[tex]a = \pm 1[/tex]
[tex]ab^2+2b = b[/tex]
[tex]b(ab+1) = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
eller
[tex]b= −1/a[/tex]
og
[tex]2a^2b+2a = 0[/tex]
[tex]2a(ab+1) = 0[/tex]
[tex]b = −1/a[/tex]
[tex]a = 1, b = −1[/tex]
og
[tex]a = −1, b = 1[/tex]
endelig:
[tex]f(x) = x − 1[/tex]
og
[tex]f(x) = 1 − x[/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Setter:
f(x) = C
f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)
C + C = C
2C = C
C = 0
dvs:
[tex]f(x) = 0[/tex]
funker
[tex]f(x) = ax + b[/tex]
[tex]f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)[/tex]
=>
lar [tex]\,y = x[/tex]
[tex]f(f(x)f(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]
[tex]f(f^2(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]
[tex](a(ax+b)^2+b) + (a(2x)+b) = ax^2+ b[/tex]
[tex]a((ax)^2 + 2abx + b^2) + b + 2ax + b = ax^2 + b[/tex]
[tex]a^3x^2 + (2a^2b+2a)x + (ab^2+2b) = ax^2 + b[/tex]
Sammenlikner koeffisienter;
[tex]a^3 = a[/tex]
[tex]a = \pm 1[/tex]
[tex]ab^2+2b = b[/tex]
[tex]b(ab+1) = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
eller
[tex]b= −1/a[/tex]
og
[tex]2a^2b+2a = 0[/tex]
[tex]2a(ab+1) = 0[/tex]
[tex]b = −1/a[/tex]
[tex]a = 1, b = −1[/tex]
og
[tex]a = −1, b = 1[/tex]
endelig:
[tex]f(x) = x − 1[/tex]
og
[tex]f(x) = 1 − x[/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Setter:
f(x) = C
f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)
C + C = C
2C = C
C = 0
dvs:
[tex]f(x) = 0[/tex]
funker
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Hmmm...så streng du er =)plutarco skrev:Du har vel ikke bevist at det ikke fins flere enn lineære løsninger her, så løsningen er uansett ikke fullstendig.
hvis vi antar polynom funksjon:
[tex]g = ax^n+bx^{n-1}[/tex]
[tex]n \geq 2[/tex]
så vil LHS:
[tex]a^{2n+1}x^{2n^2}[/tex]
og
RHS:
[tex]ax^{2n}[/tex]
DVs
Vi har:
[tex]f(x) = 0[/tex]
[tex]f(x)= x-1[/tex]
[tex]f(x)=1-x[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Hovedpoengene er å gjøre de vanlige innsettingene, og deretter vise at $f$ er injektiv. Hadde en annerledes måte å vise injektivitet på enn den offisielle løsningen, som jeg begynte å skrive ned her. Av en eller annen grunn så ble det plutselig borte, og jeg kommer ikke til å skrive det igjen, så her er en skisse: (For tilfellet $f(0)\neq 0$). Anta at $f(a)=f(b)$. Man kan vise at $f(a-b)=f(b-a)$, og hvis vi har resultatet $f(x)+f(-x)=2$ fra før av, så får vi $f(a-b)=1$. Det siste steget er å vise at $f(z)=1\implies z=0$, som ikke er krise vanskelig.
Det var en del artige og umotiverte innsettinger, og det er det som gjør oppgaven ganske vanskelig. Det er også mye som kan fungere, men som antageligvis ikke gjør det. Likevel er det hintet ganske sterkt mot å vise injektivitet (alt er omringet av $f$), så med litt erfaring med funksjonallikninger er det helt klart en gjørbar IMO oppgave 2. Hvordan løste du den plutarco?
Det var en del artige og umotiverte innsettinger, og det er det som gjør oppgaven ganske vanskelig. Det er også mye som kan fungere, men som antageligvis ikke gjør det. Likevel er det hintet ganske sterkt mot å vise injektivitet (alt er omringet av $f$), så med litt erfaring med funksjonallikninger er det helt klart en gjørbar IMO oppgave 2. Hvordan løste du den plutarco?