5^2x -5^x=<12
Hjelp!!!
Logaritmer
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hint: Sett 5^x = z. Da får vi
z^2 - z - 12 <= 0
Ser lett at V.S. har nullpunkta z = -3 eller z = 4 (kontroll: produktet av nullpunkta er lik konstantleddet ( -12 ) )
Da får vi denne ulikheten
( z + 3 )( z - 4 ) <= 0
Denne ulikheten er oppfylt når en av faktorene er lik null eller faktorene har motsatt fortegn. Disse betingelsene er
oppfylt når
-3 <= z <= 4 som er ekvivalent med at -3 <= 5^x <= 4
Siden 5^x er større enn null for alle verdier av x, ender vi opp med denne ulikheten:
5^x <= 4 som gir x <= log(4)/log(5)
z^2 - z - 12 <= 0
Ser lett at V.S. har nullpunkta z = -3 eller z = 4 (kontroll: produktet av nullpunkta er lik konstantleddet ( -12 ) )
Da får vi denne ulikheten
( z + 3 )( z - 4 ) <= 0
Denne ulikheten er oppfylt når en av faktorene er lik null eller faktorene har motsatt fortegn. Disse betingelsene er
oppfylt når
-3 <= z <= 4 som er ekvivalent med at -3 <= 5^x <= 4
Siden 5^x er større enn null for alle verdier av x, ender vi opp med denne ulikheten:
5^x <= 4 som gir x <= log(4)/log(5)
Kan løses på to måter , men aller først må vi fastsette grunnmenden( G ) , dvs. de x-verdier som kan være løsning.
Da må du hugse på at ln-funksjonen virker bare på positive tall. Det betyr at (1 - x ) > 0 og x > 0 . Disse ulikhetene
krever at 0 < x < 1.
Så til løsningen:
1) Flytter ln(x)- leddet over på høyre side :
ln(1 - x ) = ln(x)
Denne ligningen sier at (1 - x ) og x har samme ln-verdi, og da må
1 - x = x som gir x = 1/2
Denne x-verdien ligger innenfor det tillatte x-området og løsningen er godtatt.
Da må du hugse på at ln-funksjonen virker bare på positive tall. Det betyr at (1 - x ) > 0 og x > 0 . Disse ulikhetene
krever at 0 < x < 1.
Så til løsningen:
1) Flytter ln(x)- leddet over på høyre side :
ln(1 - x ) = ln(x)
Denne ligningen sier at (1 - x ) og x har samme ln-verdi, og da må
1 - x = x som gir x = 1/2
Denne x-verdien ligger innenfor det tillatte x-området og løsningen er godtatt.
Hva med disse to da?
1. ln(x+1)+ln(x+3)<ln(x+7)
2.ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + ln(x+1)^2=0, x>1
1. ln(x+1)+ln(x+3)<ln(x+7)
2.ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + ln(x+1)^2=0, x>1
På 1: $ln(a)+ln(b) = ln(ab)$ Så kan du bruke at $e^{ln(a)} = a$ og løse ligningen på vanlig måteLog skrev:Hva med disse to da?
1. ln(x+1)+ln(x+3)<ln(x+7)
2.ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + ln(x+1)^2=0, x>1
På 2: Igjen $ln(a)+ln(b) = ln(ab)$ Spesifikt start med første og tredje ledd. Bruk konjugatsetningen. Nå kan du summere resterende ledd og bruke at $e^{ln(a)} = a$ Løs så på vanlig måte med abc.
Jeg kan gi deg noen hint som du kan jobbe videre med:
1) ln(x + 1) + ln (x+3 ) < ln ( x + 7 )
Hint: Du kan slå sammen ledda på V. S. (regel: ln(a) + ln(b) = ln(a * b)
Deretter setter du uttrykket (x+1)(x+3) på V.S. mindre enn uttrykket (x + 7 ) på H.S.
Så samler du alle ledd på V.S. og skriver uttrykket på faktorform (x - x[tex]_1[/tex])(x - x[tex]_2)[/tex]
Da får du å løse ulikheten
(x - x[tex]_1 )( x - x_2[/tex] )< 0
Denne ulikheten kan du løse ved å stille opp et fortegnskjema , eller du kan løse den mer direkte slik jeg viste
i mitt første innlegg.
1) ln(x + 1) + ln (x+3 ) < ln ( x + 7 )
Hint: Du kan slå sammen ledda på V. S. (regel: ln(a) + ln(b) = ln(a * b)
Deretter setter du uttrykket (x+1)(x+3) på V.S. mindre enn uttrykket (x + 7 ) på H.S.
Så samler du alle ledd på V.S. og skriver uttrykket på faktorform (x - x[tex]_1[/tex])(x - x[tex]_2)[/tex]
Da får du å løse ulikheten
(x - x[tex]_1 )( x - x_2[/tex] )< 0
Denne ulikheten kan du løse ved å stille opp et fortegnskjema , eller du kan løse den mer direkte slik jeg viste
i mitt første innlegg.
Får fortsatt feil svar?OYV skrev:Jeg kan gi deg noen hint som du kan jobbe videre med:
1) ln(x + 1) + ln (x+3 ) < ln ( x + 7 )
Hint: Du kan slå sammen ledda på V. S. (regel: ln(a) + ln(b) = ln(a * b)
Deretter setter du uttrykket (x+1)(x+3) på V.S. mindre enn uttrykket (x + 7 ) på H.S.
Så samler du alle ledd på V.S. og skriver uttrykket på faktorform (x - x[tex]_1[/tex])(x - x[tex]_2)[/tex]
Da får du å løse ulikheten
(x - x[tex]_1 )( x - x_2[/tex] )< 0
Denne ulikheten kan du løse ved å stille opp et fortegnskjema , eller du kan løse den mer direkte slik jeg viste
i mitt første innlegg.
Får fortsatt feil svar?OYV skrev:Jeg kan gi deg noen hint som du kan jobbe videre med:
1) ln(x + 1) + ln (x+3 ) < ln ( x + 7 )
Hint: Du kan slå sammen ledda på V. S. (regel: ln(a) + ln(b) = ln(a * b)
Deretter setter du uttrykket (x+1)(x+3) på V.S. mindre enn uttrykket (x + 7 ) på H.S.
Så samler du alle ledd på V.S. og skriver uttrykket på faktorform (x - x[tex]_1[/tex])(x - x[tex]_2)[/tex]
Da får du å løse ulikheten
(x - x[tex]_1 )( x - x_2[/tex] )< 0
Denne ulikheten kan du løse ved å stille opp et fortegnskjema , eller du kan løse den mer direkte slik jeg viste
i mitt første innlegg.
Du får å løse ulikheten
(x - 1)( x + 4) < 0
NB! Hugs at grunnmengden ( G ) = alle x-verdier større enn - 1
( Uttrykket ln(x + 1 ) gir mening bare hvis x > -1 )
(x - 1)( x + 4) < 0
NB! Hugs at grunnmengden ( G ) = alle x-verdier større enn - 1
( Uttrykket ln(x + 1 ) gir mening bare hvis x > -1 )