Eksakte trigonometriske verdier

[sEirik]

Synes det er litt spennende å finne eksakte verdier for de trigonometriske funksjonene, men jeg lurer på om det finnes en metode å avgjøre om en vinkel har eksakte trigonometriske verdier eller ikke. Hvis vi f.eks. lar [tex]\mathbb T[/tex] være settet av alle reelle tall i [tex][0, 360^o>[/tex] hvis vinkler har eksakte trigonometriske verdier, hvordan kan man avgjøre om en vinkel er med i [tex]\mathbb T[/tex] eller ikke?
Det som i hvert fall slår meg er at [tex]\{0, 30^o, 45^o, 60^o, 90^o\} \in \mathbb T[/tex]. Alle tall som kan skrives som en sum eller differens av vinklene i T, er også med. Dessuten er alle vinkler som kan skrives som en vinkel i T delt på et heltall, med i T.

Finnes det en grei måte å avgjøre om en vinkel har eksakte trigonometriske verdier? Er det kanskje så enkelt at alle vinkler har eksakte trigonometriske verdier?

[Magnus]

Vel. Skal tenke litt på spørsmålet ditt i morgen, men i mens kan du jo se hvor lett utrykk man får for sin(1):

http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm

[Knuta]

Hvis du tar utgangspunktet i de vinkler vi kjenner eksaktverder av, så kan vi halvere, trekke i fra, legge til forskjellige vinkler. Selvfølgelig ikke så enkelt som det høres ut, men med kjente metoder og formeler.

F.eks. det er to enkle måter å finne eksaktverdien til [tex]15^\circ[/tex] den ene er å halvere [tex]30^\circ[/tex] den andre er å trekke [tex]30^\circ[/tex] fra [tex]45^\circ[/tex]

På denne måten arbeidet jeg fram en tabell ned til vinkler med [tex]1.5^\circ[/tex] stepp. Denne kunne med letthet halveres igjen.

Det lar seg gjøre å finne eksaktverdien til [tex]20^\circ[/tex] hvis man godtar verdier som innholder komplexe tall.

[Magnus]

Hvis man bestemmer sin(1) og cos(1) (i grader.) så kan man jo gi en hver trigonometrisk funksjon en eksakt verdi.

Bare å bruke:

[tex]sin(u+v) = sin(u)*cos(v) + cos(u)*sin(v)[/tex]

[tex]cos(u+v) = cos(u)*cos(v) - sin(u)*sin(v)[/tex]