Hvis [tex]\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma = 1[/tex], og [tex]0 \leq \alpha,\beta\gamma<90 [/tex],
vis at [tex]\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma \geq \frac{3}{8}[/tex]
Trigonometrisk ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
jepp, svært til observant du skulle være da. Morsom likevel, og fin til introduksjon av HM-GM-AM-QM.-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Jensen duger også:
La x=sin a, y=sin b, z=sin c, da er [tex]0\le x,y,z<1[/tex], x+y+z=1.
Siden [tex]\tan^2 u = \frac{\sin^2 u}{\cos^2 u} = \frac{\sin^2 u}{1-\sin^2 u}[/tex], ønsker vi å vise [tex]\frac{x^2}{1-x^2}+\frac{y^2}{1-y^2}+\frac{z^2}{1-z^2}\ge\frac38[/tex].
Funksjonen [tex]\frac{x^2}{1-x^2}[/tex] er konveks på [0,1), så Jensens ulikhet gir
[tex]\sum\frac{x^2}{1-x^2}\ge3\frac{\left(\frac{x+y+z}3\right)^2}{1-\left(\frac{x+y+z}3\right)^2}=\frac38[/tex].
La x=sin a, y=sin b, z=sin c, da er [tex]0\le x,y,z<1[/tex], x+y+z=1.
Siden [tex]\tan^2 u = \frac{\sin^2 u}{\cos^2 u} = \frac{\sin^2 u}{1-\sin^2 u}[/tex], ønsker vi å vise [tex]\frac{x^2}{1-x^2}+\frac{y^2}{1-y^2}+\frac{z^2}{1-z^2}\ge\frac38[/tex].
Funksjonen [tex]\frac{x^2}{1-x^2}[/tex] er konveks på [0,1), så Jensens ulikhet gir
[tex]\sum\frac{x^2}{1-x^2}\ge3\frac{\left(\frac{x+y+z}3\right)^2}{1-\left(\frac{x+y+z}3\right)^2}=\frac38[/tex].