Geometri 2 - Tale

[Nebuchadnezzar]

Tales setning for de tykke og de smale...

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 8cm, og høyden i trekanten er 3cm.
a) Konstruer Trekanten
b) Finn lengden av katenene

Har sett lenge på trekanten som jeg har konstruert, men finner ikke ut hvordan jeg skal regne ut katetene. Har tenkt på det meste men føler jeg har for lite opplysninger, tenkte på formlike trekanter, arealsetningen, herons formel, cosinus/sinus setningen. Men ser ikke helt hvordan jeg kan få brukt noe av det.

Så litt på Tales setning men det hjalp ikke så mye det heller, motstående vinkler er like. Så et spark i baken til å komme i gang hadde vært fint

[Austad offline]

Nvm

[Nebuchadnezzar]

Problemet er ikke å konstruere trekanten.

Trekanten er konstruert.

Problemet er å regne ut katetene.

[Markonan offline]

Som vanlig: jeg suger i geometri.

Men slik jeg forstår oppgaven så er den ene kateten 3 cm.
Hvis ikke, hva menes egentlig med høyden?

[Nebuchadnezzar]

Markonen du suger i geometri, men det gjør også jeg ^^ Tolket oppgaven på samme måte som deg første gang og.

Rød linje = AB = 8 cm
Blå linje = CG = 3 cm = høyden

[Audunss offline]

Vet ikke hvor mye hjelp du trenger, personlig føler jeg, alt du egentlig trenger er pytagoras og abc formelen.

Om du kaller den ene lengden fra linjen som måler høyden bort til kateten for u, og de to katetene for x og y, får du to nye trekanter, der x og y er hypotenuser. Regn ut et uttryk for hypotenusen her.

[Nebuchadnezzar]

[tex] AC = x \, \wedge \, CB = y [/tex]

[tex] x^2 = AG^2 + GC^2 {\rm{ }} \wedge {\rm{ y}}^2 = GB^2 + GC^2 [/tex]

[tex] x^2 = AG^2 + 9{\rm{ }} \wedge {\rm{ y}}^2 = GB^2 + 9 [/tex]

[tex] x^2 = \left( {AB - GB} \right)^2 + 9{\rm{ }} \wedge {\rm{ y}}^2 = GB^2 + 9[/tex]

[tex] x^2 = \left( {8 - GB} \right)^2 + 9{\rm{ }} \wedge {\rm{ y}}^2 = GB^2 + 9 [/tex]

[tex] x^2 = 64 - 16GB + GB^2 + 9{\rm{ }} \wedge {\rm{ y}}^2 = GB^2 + 9 [/tex]

Trenger nok litt mer hjelp, aldri egentlig lært geometri. Vet jeg gjør en del feil her men hva... nytt spark i baken please! ^^

[Markonan offline]

Er dette 30-60-90 terkanter?

[Nebuchadnezzar]

Niks, sjekket det i geogebra.

[sirins offline]

Evt kan du bruke arealet:

Du vet at [tex]A = \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 3[/tex]

Hvis vi kaller katetene for x og y, så har vi også at [tex]A = \frac{1}{2}\cdot x \cdot y[/tex] (siden trekanten er rettvinklet)

..og også at [tex]x^2 + y^2 = 8^2[/tex]

[Audunss offline]

Du har gjort det samme some det jeg gjorde, mangler bare den lille tingen at x og y er kateter, og x^2+y^2=64

[Nebuchadnezzar]

[tex] x^2 + y^2 = 8^2 [/tex]

[tex] A = \frac{1}{2}8 \cdot 3 \Rightarrow A = 12 [/tex]

[tex] A = \frac{1}{2}xy [/tex]


[tex] x^2 + y^2 = 64 [/tex]

[tex] 12 = \frac{1}{2}xy \Rightarrow x = \frac{{24}}{y} [/tex]


[tex] \left( {\frac{{24}}{y}} \right)^2 + y^2 = 64 \Rightarrow 576 + y^4 = 64y^2 {\rm{ og u = y}}^2 [/tex]

[tex] u^2 - 64u + 576 = 0 \Rightarrow u = \frac{{ - \left( { - 64} \right) \pm \sqrt {\left( { - 64} \right)^2 - 4\left( {576} \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} \Rightarrow u = \frac{{64 \pm \sqrt {1792} }}{2} \Rightarrow u = 32 + 8\sqrt 7[/tex]

[tex] y = \sqrt {32 + 8\sqrt 7 } \Rightarrow y = 2 + 2\sqrt 7 [/tex]

[tex] x = \frac{{24}}{y} \Rightarrow x = \frac{{24}}{{2 + 2\sqrt 7 }} \Rightarrow x = \frac{{12}}{{\sqrt 7 + 1}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }}BC = 2 + 2\sqrt 7 \approx 7.2916{\rm{ }}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }}AC = \frac{{12}}{{\sqrt 7 + 1}} \approx {\rm{3}}{\rm{.2915 }}}} [/tex]

Og der var den løst, burde jo finnes en lettere måte... Skal se om jeg klarer å løse oppgaven på Audunss måte. Jeg SKAL klare å lære meg geometri. ^^

[Sisyphos offline]

Du har forsåvidt flere tilnærminger til denne, selv om du ender opp med mye av de samme utregningene etterhvert.

Letteste er kanskje vha såkalt mellomproporsjonal:
La x + y = 8. Da vil xy= 3[sup]2[/sup]. Løs så dette vha abc og få hhv 1,35 og 6. 65. Videre brukes pytagoras.

Arealbetraktninger lar seg også bruke.

Prøv også formlikhet. Bruk de ukjente du trenger, og eliminer etterhvert som du setter opp flere uttrykk. Du ender tilslutt opp med det samme som ved bruk av mellomproporsjonaler[/tex]

[Fibonacci92 offline]

Beklager hvis noen har skrevet dette før:

Setter AG = x, og dermed GB= 8-x

x^2 + 3^2 + (8-x)^2 + 3^2 = 8^2

Så jobber du bare med én ukjent og kan ganske greit regne ut katetene ved hjelp av pytagorassetningen.

[Fibonacci92 offline]

Hmm... lurer på om det finnes en generell formel:

H= hypotenus, h=høyde

2* Katet^2 = H^2 [symbol:plussminus] [symbol:rot] H^2(H-2h)(H+2h)

Den tror jeg skal gjelde for alle rettvinklete trekanter. Da er det bare å sette tall inn i formelen... Om det blir enklere er uvisst:P