Fullføring av kvadrat

[idiis]

Jeg skal planlegge bygging av en sandkasse, der jeg skal bruke metoden å fullføre kvadratet. Bør jeg gå ut fra et gitt areal for sankassa eller et gitt volum for sanden som skal i? Kan noen hjelpe meg med ideer og utregning? Det skal være en normalstor sandkasse på en barneskole!

[Gustav]

Anta at du skal bygge en rektangulær kasse med et gitt areal på f.eks. 5m^2, der sidene tilsammen skal være 20m. La den ene siden være x. Da må den andre siden være 10-x. Du får dermed at arealet på kassen er x(10-x).

Dette gir ligningen [tex]10x-x^2=5[/tex], som omskrives til

[tex]x^2-10x=-5[/tex].

Her kan du bruke metoden som kalles å fullføre kvadratet, en nyttig metode dersom du f.eks. har glemt abc-formelen.

Trikset er å legge til kvadratet av halvparten av koeffisienten foran x, altså 25 i dette tilfellet (10 delt på 2 kvadrert). Vi får

[tex]x^2-10x+5^2=-5+5^2=20[/tex].

Vi gjenkjenner 1.kvadratsetning på venstresida: [tex](x+y)^2=x^2+2xy+y^2[/tex] (sett [tex]y=-5[/tex]). Altså kan vi skrive

[tex](x-5)^2=20[/tex]. Tar vi kvadratrota på begge sider får vi at

[tex]x-5=\pm \sqrt{20}[/tex] (vær påpasselig med å få med den negative løsningen)

Til slutt flytter vi over og får x alene:

[tex]x=5\pm\sqrt{20}[/tex].

Slik har vi funnet hvor lang sidene på sandkassen må være ut fra kravene om areal og sum av sidelengder, og vi har brukt fullføring av kvadratet.