ulikhet med absoluttverdi

[linnliselotte]

sliter med denne:

|2x-1|<|x|+2

noen som kan hjelpe?

[Vektormannen]

Her er det nok flere måter å gå frem på. Én måte som gir forholdsvis enkel regning, men som kanskje kan virke litt "rar" er å prøve å kvitte seg med absoluttverditegnene. Det har vi lov til når vi vet fortegnet på det som det er tatt absoluttverdi av. Hvis vi har |x| og vi vet at x er negativ, så vil |x| = -x. (Absoluttverdien skal jo alltid være den positive tallverdien av tallet.)

I denne ulikheten har vi to absoluttverdiuttrykk, |2x-1| og |x|. Vi vet at dersom x hadde vært større enn 1/2 så hadde vi visst at 2x-1 var større enn 0, altså positivt, og da kunne vi fjernet absoluttverditegnet på |2x-1|. På samme måte hadde vi kunnet fjerne absoluttverditegnet på |x|, siden x er positiv. Da ville vi fått ulikheten [tex]2x-1 < x + 2[/tex] som gir [tex]x < 3[/tex]. Problemet er at vi har antatt at [tex]x > \frac{1}{2}[/tex]. Så langt vet vi altså at alle [tex]x[/tex] som er mellom 1/2 og 3 er løsninger på ulikheten. Men det kan godt være flere løsninger enn dette. Vi må derfor undersøke for andre x enn bare de som er større enn 1/2.

Hva blir det neste x-området å se på? Hvis vi tenker oss litt om så vet vi at når x er mindre enn 1/2 så er 2x-1 negativ. Da er |2x-1| = -(2x-1). Men så lenge x også er større enn 0 så er x fortsatt positiv, så |x| = x. Vi må derfor se på hvilke x om løser ulikheten når vi antar at x ligger mellom 0 og 1/2. Da får vi ulikheten [tex]-(2x-1) < x + 2[/tex]. Da får vi at [tex]x > -\frac{1}{3}[/tex] -- altså at ulikheten er oppfylt så lenge x er større enn -1/3. Vi har fra før antatt at x er mellom 0 og 1/2, så da må det gjelde for alle x mellom 0 og 1/2.

Til slutt gjenstår det alle x-verdiene som er mindre enn 0. Hva kan du si om absoluttverdiene når du antar at x < 0? Hva får du når du løser ulikheten med denne antagelsen? Hva blir da løsningen av den opprinnelige ulikheten?