Oppgave 1
Bestem likningen for planet gitt ved parameterframstillingen
[tex]x=2+s \wedge y=3s+t \wedge z=1-s-2t[/tex]
Denne burde være rimelig grei å følge slavisk det som står i boken. Jeg skriver ned de to vektorene som bestemmer planet, pluss et tilfeldig punkt i planet.
[tex] \vec{n}=[1,3,-1], \vec{v}=[-1,1,-2], P=(2,0,1)[/tex]
Jeg tar dermed kryssproduktet av de to vektorene.
[tex][1,3,-1]\times[-1,1,-2]=[-5,3,4][/tex]
Deretter adderer jeg dette sammen med punktet og får
[tex]-5x+3y+4z+3=0[/tex]
Svaret er korrekt med unntak av at 3 skal egentlig være 6. Hvorfor det? (Jeg sliter egentlig litt med hvordan jeg skal sette opp oppgaven som helhet også)
Oppgave 2
Bestem avstanden mellom linjene l og m gitt ved
[tex] l : x=s \wedge y=2s+1 \wedge z=3-2s[/tex] og
[tex] m : x=3-1 \wedge y=3t \wedge z=3-2t[/tex]
[tex]\vec{v}=[1,2,-2], \vec{u} = [-1,3,-2][/tex]
[tex]P = (s,2s+1,3-2s), Q = (3-t,3t,3-2t)[/tex]
[tex] \vec{PQ}\ast\vec{v}=0[/tex]
[tex]\vec{PQ}\ast\vec{u}=0[/tex]
Ligning 1
[tex][3-t-s,3t-2s-1,2s-2t]\ast[1,2,-2]=0[/tex]
[tex]3-t-s+6t-4s-2-4s+4t = 0[/tex]
[tex]1+9t-9s=0[/tex]
Ligning 2
[tex][3-t-s,3t-2s-1,2s-2t]\ast[-1,3,-2]=0[/tex]
[tex]-3+t+s+9t-6s-3-4s+4t =0[/tex]
[tex] -6+14t-9s=0[/tex]
Ligning 2 - Ligning 1
[tex]-7+5t=0[/tex]
[tex]t=1,4[/tex]
[tex]s=\frac{68}{45}[/tex]
Dette setter jeg inn i vektoren [tex]\vec{PQ}[/tex]:
[tex]\mid\vec{PQ}\mid=\mid[3-t-s,3t-2s-1,2s-2t]\mid[/tex]
[tex]\mid\vec{PQ}\mid=\sqrt{(3-1,4-\frac{68}{45})^2+(3\ast1,4-2\ast\frac{68}{45})^2+(2\ast\frac{68}{45}-2\ast1,4)^2}=1,20[/tex]
Svaret her skal bli 0,30, men det er kanskje noe med hvordan jeg gikk fram...?
Oppgave 3
Avgjør om likningen gir en kuleflate, og bestem eventuelt sentrum og radius.
[tex]2x^2+12x+2y^2-4y+z^2-8z+1=0[/tex]
[tex}2(x+3)^2+2(y-1)^2+(z-4)^2 = 25[/tex]
Radius: 5, Sentrum: (-3,1,4)
Svar: Ingen kuleflate. Og jeg er meget sikker på at det skyldes faktoren 2, men hvordan har dette innvirkning på svaret?
Oppgave 4
a) En kule har radius lik 8. Finn arealet av et kulesegment med høyde 2. (denne gikk fint)
b) Planet x-2y+2z-9=0 deler kuleflaten gitt ved x^2+y^2+z^2=36 i to. Finn overflaten av den største delen.
c) Kuleflaten gitt ved (x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=47 deles av planet 2x+3y-6z+2 = 0. Finn forholdet mellom overflaten av den største og den minste delen av kuleflaten.
Problemene starter allerede på b. Jeg bruker det at "Overflaten S av et kulesegment med høyde h i en kule med radius er S = 2*pi*r*h". Boken tar for seg et eksempel der de finner den minste delen. Der definerer de h = r^2-D^2 (pytagoras). Ettersom de da fant den minste delen, tenkte jeg at det var annerledes når jeg skulle finne den største delen:
Jeg finner først D, avstanden fra sentrum i kula til planet.
[tex] D = \frac{\mid 0\ast1+0\ast(-2)+0\ast2-9\mid}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=3[/tex]
Ettersom jeg skulle finne overflaten av den største delen, tenkte jeg det ville vært smart å la høyden være radiusen + D.
[tex]2\pi\ast r\ast h = 2\pi\ast6\ast(6+3)=108\pi[/tex]
Svaret her skal bli 36pi.
Jeg hadde forsåvidt også trøbbel med c), men det kan hende at økt forståelse for b) vil gjøre at jeg løser c) selv.
Oppgave 5
Et tetraeder har hjørner O=(0,0,0),A=(4,2,1),B=2,5,2) og C=(1,-4,6).
b) Finn overflaten av tetraedret.
c) Bestem vinkelen mellom kantene AB og AC.
Her vil jeg egentlig bare vite hvorfor løsningen min er så gal.
[tex]Overflate=\frac{1}{2}\ast\mid\vec{OA}\times\vec{OB}\mid+\frac{1}{2}\ast\mid\vec{OA}\times\vec{OC}\mid+\frac{1}{2}\ast\mid\vec{OC}\times\vec{OB}\mid+\frac{1}{2}\ast\mid\vec{CA}\times\vec{CB}\mid = \frac{\sqrt{293}+33,3+41,4+44,4}{2}=68,1[/tex]
Her skal svaret bli 61,2. Superirriterende
Slik prøvde jeg å løse oppgave c)
[tex]\vec{AB}\times\vec{AC}=[-2,3,1]\times[-3,-6,5]=[21,7,21][/tex]
[tex][tex][/tex]\frac{1}{2}\ast\mid\vec{AB}\times\vec{AC}\mid=\frac{1}{2}\ast\sqrt{21^2+7^2+21^2}=15,3
[tex] sin\alpha\ast\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}\ast\sqrt{(-3)^2+(-6)^2+5^2}=15,3[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{15,3}{14\sqrt{5}}=0,489[/tex]
[tex]sin^(-1)(0,489)=29,3[/tex]
Vinkelen skulle egentlig være 102,9
Helst si ifra om det er manglende opplysninger som er essensielle, dette er helt nytt for meg, og jeg har konsekvent trøbbel og feil med stoffet :/
