Valgmuligheter

[north]

Hei jeg har en oppgave som jeg skulle hatt litt hjelp med.

På et fat ligger det rikelig med epler, pærer, bananer, appelsiner og kiwi.

A) Audhild skal spise to av fruktene. Hvor mange valgmuligheter har hun?
(to valg og 5 muligheter gir 25 og dette stemmer med fasit)

B) Ivar skal også velge frukt fra fatet og ta med på tur, høyst en av hver type. Hvor mange valgmuligheter har han?

Jeg kommer til 120 (5*4*3*2*1) Fasiten sier 31

Noen som kan vise hvordan det blir 31.

[Dinithion]

Du har sikkert vært borti nCr? (n CHOOSE r, som de sier på internajonalen ). Her kan han velge 5Cn, hvor n er 0 til 5. Prøv å summer og se hva du får

[north]

Nei jeg har ikke vært borti nCr så dette sier meg ingen ting. Kan du gi meg et eksempel på hvordan du summerer med denne metoden.

[Dinithion]

Ok, for å ta det litt basic, fakultet (Eks, 5!, = 1*2*3*4*5) brukes eks til å finne ut hvor mange måter man kan arrangere n elementer.

Da blir ABC kan arrangere på 3! måter:
ABC, BAC, BCA, CBA, CAB, ACB.
Altså er det ikke likegylding hvor plasseringen er. Man tar med alle kombinasjoner som er ulik.

nCr har formelen:
[tex]{n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}[/tex]

og brukes til å finne ut hvor mange måter man kan trekke ut r elementer av totalt n elementer. F.eks er det likegyldig om han trekker eple, pære, banan eller banan, pære, eple. Rekkefølgen spiller ingen rolle. Man vil bare vite hvor mange forskjellige kombinasjoner han kan få.

I ditt eksempel, hvor mange måter kan han trekke ut 0 frukter på? Vel, det finnes bare en måte å trekke null på. Eller hvor mange måter kan han trekke 5 frukter på? Vel, da må han ta en av hver, altså finnes det bare en måte å gjøre det også på.

Når det kommer til to, tre og fire frukter, så blir det anderledes. For da kan han trekke f.eks ved å ta fire frukter:
Eple - banan - pære - kiwi
Eple - appelsin - pære - kiwi
Eple - banan - appelsin - kiwi
Eple - banan - pære - appelsin
Banan - pære - kiwi - appelsin

Totalt finnes det [tex]{5 \choose 4} = 5[/tex] kombinasjoner å trekke fire frukter ut av 5 på. Siden han kan velge hvor mange frukt han vil ha, så må man altså summere antall kombinasjoner for om han tar henholdsvis 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 frukter.

Altså blir regnestykket:
[tex]{5 \choose 0} + {5 \choose 1} + {5 \choose 2}+ {5 \choose 3}+ {5 \choose 4}+ {5 \choose 5} = \sum_{n=0}^5 {5 \choose n} = 32[/tex]

[north]

Jeg fikk det til nå. Så takk for hjelpen. Jeg kommer dog til 31.
5/o =o
5/1 =5
5/2 = 10
5/3 =10
5/4 =5
5/5 =1
=31

[Dinithion]

Som jeg nevnte, så er [tex]{5 \choose 0} = 1[/tex] ikke 0. Det er fordi det går an å velge null elementer, og det er en måte å gjøre det. Ved ikke å ta noen

[north]

Men når det er 5/0 blir ikke det (5*4*3*2*1)/(0*5*4*3*2*1) som gir 5/0. Er det da slik at n/0 er definert som 1.

[Dinithion]

Ja, det stemmer og det er fordi 0! = 1. Jeg husker ikke hvorfor det er sånn, men det finnes en forklaring på det. Da får man:

[tex]\frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{1}{0!} = 1[/tex]

(Legg merke til at 5! over brøkstreken stykes mot (5-0)! under brøkstreken, men jeg har ikke helt funnet ut hvordan man setter strek over ting i latex.

[north]

Ja ok da takker jeg så mye for hjelpen.

[Charlatan]

0! := 1 fordi det gir mening i mange sammenhenger. Istedet for å definere at 0! = 1 i hver situasjon 0! oppstår, fordi det ofte gir en helhet, er det enklere å definere at 0! = 1.

[Emilga]

... men jeg har ikke helt funnet ut hvordan man setter strek over ting i latex.

Kode: Velg alt

\cancel{...}

[tex]\frac{\cancel{5!}}{0!\cancel{(5-0)!}} = \frac{1}{0!} = 1[/tex]

[Dinithion]

Aaah! Cancel! Så åpenbart Takk skal du ha

[Heppet]

Premisset er jo at han skal ta med frukt på turen, da kan nok ikke det å ikke ta med noe frukt være et alternativ.

[Charlatan]

Jeg anbefaler ikke at du "summerer det og ser hva du får", for å sjekke om det stemmer med fasiten. Det er ikke slik du lærer. Prøv heller å bruke intuisjonen. Du trenger ikke involvere binomialkoeffisienter til et enkelt problem som dette.


Tenk deg at Ivar vurderer hver frukt en etter en. Hvor mange kombinasjoner kan han velge ut?
Hint: Hvor mange muligheter har han ved hver frukt?

[Heppet]

Prøv heller å bruke intuisjonen.

Jeg skulle gjerne likt å sett deg utdype denne. Jeg ser overhodet ingen enkel måte å løse denne oppgaven på kun ved hjelp av intuisjon