Rekker 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Jeg spør også om flere generelle spørsmål angående rekker underveis, men ikke i denne tråden. Spørsmålene finner du i MatteNoobs spørsmålstråd for rekker.

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[MatteNoob]

Skriv opp de tre neste leddene i tallfølgen

a) 25, 32, 39, 46

b) [tex]1,\, \frac 12,\, \frac 13,\, \frac 14[/tex]

c) 2, 3, 5, 7, 11, 13

a)
[tex]32-25 = 7 \\ 39-32 = 7 \\ 46-39 = 7 \\ \, \\ \text{Dette gir} \\ \, \\ n+7 \\ \, \\ \text{De tre neste sifferne: } \\ \, \\ 53,\, 60,\, 67[/tex]

b)
[tex]\frac{1}{n+1} \\ \, \\ \text{De tre neste sifferne:} \\ \, \\ \frac 15, \, \frac 16, \, \frac 17[/tex]

c)
[tex]\text{Disse ser kjent ut, primtall :]}\\ \, \\ 17,\, 19,\, 23[/tex]

[espen180]

a)
[tex]\text{Dette gir} \\ \, \\ n+7[/tex]

Mener du ikke [tex]7n+k[/tex] eller [tex]a_{n+1}=a_n+7[/tex], siden stigningstallet mellom hvert ledd er 7?

[MatteNoob]

Det har du helt rett i, espen180. Jeg har ikke lest gjennom hele kapittelet enda, så jeg er ustø på notasjonen. Tusen takk for at du påpekte det.

Finn mønsteret i tallfølgene. Skriv de tre neste tallene.

a) 8, 13, 21, 34, 55 ...

b) 1, 2, 4, 7, 11 ...

c) 1, 3, 6, 10, 15 ...

d) 1, -2, 4, -8 ...

a)
Her har vi Fibonaccirekken!
[tex]89, \, 144,\, 233 \, \ldots[/tex]

b)
[tex]a_n=\frac{n^2-n}{2}+1[/tex] (Takk, Knuta :])

[tex]16, \, 22, \, 29\, \ldots[/tex]

c)
[tex]a_n = a_{n-1} + n[/tex]

[tex]21,\, 28,\, 36, \, \ldots[/tex]

d)
[tex]a_n = a_{1} \cdot k^{n-1} \text{ Der k = -2} \\ \, \\ \, \\ \text{feks:} \\ \, \\ a_5 = 1 \cdot (-2)^{5-1} = 16 \\ a_6 = 1 \cdot (-2)^{1-6} = -32 \\ \, \\ 16,\, -32,\, 64,\, \ldots[/tex]

edit: fikset en leif

[espen180]

Alternativt:
d)
[tex]a_n=(-1)^{n+1}2^{n-1}[/tex]

[MatteNoob]

Takk for den alternative løsningen, espen, håper du kommer med flere etterhvert som tråden divergerer mot den positive [tex] \infty[/tex]

Tallene i tallfølgen 2, 6, 12, 20 ... blir kalt rektangeltallene.

a) Hva er det femte rektangeltallet.
b) Tegn figur som viser sammenhengen.

a)
Det neste tallet blir 30 fordi rekken er gitt ved:
[tex]a_n = n(n+1)[/tex]

b)
[tex]a_4 = 20[/tex]

[tex]\begin{matrix} x & x & x & x & x \\x & x & x & x & x \\x & x & x & x & x \\x & x & x & x & x \end{matrix}[/tex]

[tex]a_5 = 30[/tex]
[tex]\begin{matrix} x & x & x & x & x & 1 \\x & x & x & x & x & 1 \\x & x & x & x & x & 1 \\x & x & x & x & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix}[/tex]

Vi utvider altså begge sider i rektangelet med 1.

[MatteNoob]

a) Skriv opp de fem neste tallene i tallfølgen [tex]1,\, 4,\, 9,\, 16,\, \ldots[/tex]

b) Ta for deg eksempel 6. Hvilke tre pyramidetall kommer etter 30?

c) Kubikktall nr. n er lik n^3. Skriv de fem første kubikktallene.

a)
Dette er kvadrattallene. De er gitt ved:

[tex]a_n = n^2[/tex]

De fem neste tallene er:

[tex]25,\, 36,\, 49,\, 64,\, 81[/tex]

b)


Vi har kvadrattallrekken, gitt ved:
[tex]a_n = n^2[/tex]
Hvert "lag" i pyramiden, er gitt ved kvadrattallene, så dersom vi summerer tallene i kvadratrekken, for n "lag", får vi pyramidetallene.

[tex]a_n = \sum_{i=1}^{n} n^2[/tex]

De tre neste pyramidetallene er derfor:

[tex]55,\, 91,\, 140[/tex]

c)

[tex]a_n = n^3[/tex]

[tex]1,\, 8,\, 27,\, 64,\, 125,\, \ldots[/tex]

[Knuta]

Skriv opp de tre neste leddene i tallfølgen

c) 2, 3, 5, 7, 11, 13

c)
[tex]\text{Disse ser kjent ut, primtall :]}\\ \, \\ 17,\, 19,\, 23[/tex]

Har du prøvd?

[tex]f_n = - \frac{79n^9}{120960} + \frac{65n^8}{2016} - \frac{4579n^7}{6720} + \frac{145n^6}{18} - \frac{336347n^5}{5760} + \frac{77005n^4}{288} - \frac{23194097n^3}{30240} + \frac{663029n^2}{504} - \frac{126622n}{105} + 443[/tex]

[tex]f_{1,2, ... 9, 10} = 2,3, ... 23, 29[/tex]


prøv koden - 79x^9/120960 + 65x^8/2016 - 4579x^7/6720 + 145x^6/18 - 336347x^5/5760 + 77005x^4/288 - 23194097x^3/30240 + 663029x^2/504 - 126622x/105 + 443 i geogebra og sjekk.

[MatteNoob]

@ Knuta
Nei, den har jeg ikke prøvd, men jeg gjorde som du sa og stappet den inn i Geogebra. Det ble en rimelig attraktiv kurve, artig! Hehe. :]

Ta for deg tallfølgen i eksempel 2. Finn en formel for ledd nummer n.

Eksempel 2:
[tex]5,\, 15,\, 45,\, 135,\, 405,\, \ldots[/tex]

[tex]a_n = 5\cdot 3^{n-1}[/tex]

[MatteNoob]

Finn en formel for ledd nr. n i tallfølgene:

a) 1, 4, 9, 16, ...

b) 4, 7, 12, 19, ...

c) [tex]1,\, \frac 14,\, \frac 19,\, \frac{1}{16},\, \ldots[/tex]

d) [tex]\frac 15,\, \frac 18,\, \frac{1}{13},\, \frac{1}{20},\, \ldots[/tex]

a)
[tex]a_n = n^{2}[/tex]

b)
[tex]\begin{matrix} n = & 1&2&3&4 \\ a_n = & 4 & 7 & 12 & 19 \\ + & 0 & 3 & 5 & 7\end{matrix}[/tex]

Vi observerer at tallfølgen øker med oddetallene 3, 5 og 7, for leddene 2, 3 og 4. Det betyr at vi vil lage en følge med disse tallene, og deretter legge til det første leddet i denne følgen minus 1, siden det første tallet er 4.

[tex]a_n = n^2 + 3[/tex]

c)
[tex]a_n = \frac{1}{n^2}[/tex]

d)
Vi tar for oss tellerne i brøkene for å analysere dem ytterligere.

[tex]\begin{matrix}n & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \frac 1x & 5 & 8 & 13 & 20 \\ + & 0 & 3 & 5 & 7\end{matrix}[/tex]

Ser du at økningen mellom hvert av leddene har noe til felles med en av de tidligere oppgavene? (Nå antar jeg at du er smart nok til å se det).

Det stemmer, alle nevnerne i leddene fra [tex]1 \rightarrow \infty[/tex] øker med oddetall!

Tallfølgen er derfor gitt ved formelen:
[tex]a_n = \frac{1}{(n^2+4)}[/tex]

[MatteNoob]

Vi ser på rekka
[tex]300 + 350 + 410 + 480 + 560 + 650 + \ldots[/tex]

a) Hva er [tex]a_3[/tex] og [tex]S_3[/tex]

b) Hva er [tex]a_6[/tex] og [tex]S_6[/tex]

c) Hva er [tex]a_7[/tex] og [tex]a_8[/tex]

a)
[tex]a_3 = 410 \\ \, \\ S_3 = 300 + 350 + 410 = 1060[/tex]

b)
[tex]a_6 = 650 \\ \, \\ S_6 = 300 + 350 + 410 + 480 + 560 + 650 = 2750[/tex]

c)
Vi legger merke til at hvert ledd i rekka øker med 10 fra (men ikke med) ledd 2 og oppover.

[tex]a_7 = 750 \\ a_8 = 860[/tex]

Hva er mønsteret på rekka i forrige oppgave?

Som nevnt i c, i forrige oppgave. Dessuten er hvert ledd gitt ved formelen:

[tex]5n^2 + 35n + 260[/tex] (Denne fant jeg ved å bruke regresjon på lommeregneren, der x er ledd og summen av det n-te leddet er y.)

[MatteNoob]

Vi ser på oddetallsrekka:
[tex]1+3+5+7+9+\ldots[/tex]

a) Skriv ned [tex]S_1,\, S_2,\, S_3,\, S_4,\, S_5[/tex]
Det er et mønster i disse summene. Finn det.

b) Skriv ned en formel for summen [tex]S_n[/tex] av de n første leddene i oddetallsrekka.

a)
[tex]S_1 = 1 \\ S_2 = 4 \\ S_3 = 9 \\ S_4 = 16 \\ S_5 = 25[/tex]

Summene for [tex]S_n[/tex] danner kvadrattallene.

b)
[tex]S_n = n^2[/tex]

[MatteNoob]

En familie har laget en spareplan for noen måneder fremover. De månedlige sparebeløpene er gitt ved leddene i rekka

[tex]650+710 + 770 + 830 + 890 + \ldots[/tex]

a) Vis at sparebeløpene danner en aritmetisk rekke med første ledd lik 650.

b) Finn rekkas differens d og det åttende sparebeløpet i spareplanen.

a)
Vi observerer at rekkas første tall (beløp) er 650.

b)
[tex]d = a_{n} - a_{n-1} \Rightarrow 710 - 650 = 60 \\ \, \\ 770 - 710 = 60[/tex]

Rekkas differens, d, er 60.

[tex]a_n = a_1 + dn \Rightarrow a_8 = 590 + 60 \cdot 8 = 1070[/tex]

edit: rettet feil, takk BMB

[MatteNoob]

Ta for deg eksempel 5.

Eksempel 5
På nyttårsaften bestemmer Inga seg for å slutte å røyke. Hun regner med at forbuket på sigaretter har vært 500 per måned. Hun vil redusere forbruket, slik at hun hver måned røyker 60 færre sigaretter enn måneden før. Slik vil hun fortsette til hun har sluttet å røyke.

a) Hva blir sigarettforbruket i april?

b) I hvilken måned kommer forbruket under 5 sigaretter per dag?

c) I hvilken måned slutter Inga å røyke?

Sigarettforbruket danner en aritmetisk rekke der differensen, d, er -60. Dermed er sigarettforbruket gitt ved formelen:

[tex]a_n = 440 + (n-1)(-60) \Rightarrow a_n = 500 - 60n[/tex]

a)
[tex]a_4 = 500 - 60\cdot 4 = 260\, sigaretter.[/tex]

b)
[tex]a_n < 5 \\ \, \\ 500 - 60n < 5 \\ \, \\ -60n = -495 \\ n = 8.25[/tex]

Sigarettforbruket kommer ikke under 5 sigaretter per dag. Ikke før hun har sluttet.

c)
[tex]500 - 60n = 0 \\ \, \\ n = 8.\overline 3[/tex]

Hun slutter å røyke i måned 9, altså den 1 september.

Fasiten er ikke enig med meg i mine svar, men det er fordi de har regnet med at Inga kutter ned på sigarettene daglig, mens jeg har antatt at hun kutter ut 60 sigaretter den 1 i hver måned. Dessuten er det feil i fasiten for svaralternativ b. De hevder at hun kommer under 5 sigaretter i Juni, og det er umulig uansett hvordan man regner det. Jeg tror de har skrevet feil, og ment under 50 sigaretter.

[espen180]

Jeg tror du bør lese oppgaveteksten på b) på nytt... Det står 5 sigaretter pr. dag, ikke måned.