Periodiske funksjoner 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Denne tråden har tett sammenheng med Trigonometrien i 3MX, men de har skillt ut periodiske funksjoner, så da gjør jeg også det.

Generelle spørsmål rundt dette kapittelet finner du i MatteNoobs spørsmål ang. Periodiske funksjoner 3MX

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[MatteNoob]

I en sirkel med radius 3.79 cm er det merket av to vinkler u og v med topp-punkt i sentrum av sirkelen. Vinkel u spenner over en bue på 4.63 cm, og v spenner over en bue på 6.35 cm. Hvor store er vinklene i radianer?

Pga rad's tette sammenheng med radien i en sirkel, har vi at antall rad i en sirkel der radien r og buelengen b er gitt, er:

[tex]v = \frac br[/tex]

Dermed får vi:

[tex]v = \frac{4.63}{3.79} \approx 1.22 rad \\ \, \\ u = \frac{6.35}{3.79} \approx 1.68 rad[/tex]

[MatteNoob]

Gjør om vinklene nedenfor til radianer. Uttrykk svarene ved [symbol:pi]

[tex]\begin{tabular}{c} 45\textdegree & 60\textdegree & 120\textdegree & 135\textdegree & 150\textdegree & 240\textdegree & 270\textdegree & 300\textdegree & 330\textdegree \end{tabular}[/tex]

Én grad uttrykkt i radianer, er [tex]1\textdegree = \frac{\pi}{180}rad[/tex] dermed får vi:

[tex]45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \\ \, \\ 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \\ \, \\ 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \\ \, \\ 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \\ \, \\ 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \\ \, \\ 240 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{3} \\ \, \\ 270 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2} \\ \, \\ 300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{3} \\ \, \\ 330 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{6}[/tex]

[MatteNoob]

Gjør om disse vinklene til radianer med to desimaler.

[tex]\begin{matrix}{c} 26.4\textdegree & 47.1\textdegree & 67.5\textdegree & 211.7\textdegree & 318.6\textdegree\end{matrix}[/tex]

Vi vet at i en sirkel er det [tex]360\textdegree = 2\pi\, rad \Rightarrow 180\textdegree = \pi\, rad[/tex]. Dermed får vi:

[tex]26.4 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.46 \\ \, \\ 47.1 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.82 \\ \, \\ 67.5 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 1.18 \\ \, \\ 211.7 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 3.69 \\ \, \\ 318.6 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 5.56[/tex]

[MatteNoob]

Finn disse vinklene i grader:

[tex]\begin{tabular}{c} \frac{\pi}{9} & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{3\pi}{4} & \frac{7\pi}{6} & \frac{5\pi}{4} & \frac{3\pi}{2} & \frac{5\pi}{3} \end{tabular}[/tex]

[tex]\frac{180\textdegree }{\pi} \cdot \frac{\pi}{9} = \frac{180\textdegree}{\cancel \pi} \cdot \frac{\cancel \pi}{9} = \frac{180\textdegree}{9} = 20\textdegree[/tex]

Av dette ser vi at vi kan fjerne [symbol:pi] fra alle uttrykket når vi skal konvertere fra radianer til grader ([symbol:pi] rad er jo 180 grader) dermed har vi:

[tex]\frac{180\textdegree}{6} = 30 \textdegree \\ \, \\ \frac{180\textdegree}{4} = 45 \textdegree \\ \, \\ \frac{180\textdegree}{3} = 60 \textdegree \\ \, \\ \frac{180\textdegree}{2} = 90 \textdegree \\ \, \\ \frac{3\cdot 180\textdegree}{4} = 135 \textdegree \\ \, \\ \frac{7\cdot 180\textdegree}{6} = 210 \textdegree \\ \, \\ \frac{5\cdot 180\textdegree}{4} = 225 \textdegree \\ \, \\ \frac{3\cdot 180\textdegree}{2} = 270 \textdegree \\ \, \\ \frac{5\cdot 180\textdegree}{3} = 300 \textdegree \\ \, \\ [/tex]

[MatteNoob]

Gjør om disse vinklene fra radianer til grader:

[tex]\begin{matrix}{c} 0.236 & 0.474 & 0.677 & 0.963 & 1.241 & 2.463 \end{matrix}[/tex]

[tex]v_1 = 0.236 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 13.5\textdegree \\ \, \\ v_2 = 0.474 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 27.2\textdegree \\ \, \\ v_3 = 0.677 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 38.8\textdegree \\ \, \\ v_4 = 0.963 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 55.2\textdegree \\ \, \\ v_5 = 1.241 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 71.1\textdegree \\ \, \\ v_6 = 2.463 \cdot \frac{180\textdegree}{\pi} \approx 141.1\textdegree[/tex]

[MatteNoob]

a) Finn lengden av buen i en sirkelsektor med radius 12 cm og vinkel 1.8 rad.

b) Vinkelen i en sirkelsektor er 0.63 rad, og buen er 19 cm. Hva er radien?

a)
[tex]v = \frac br \Rightarrow b = r\cdot v \Rightarrow b=12\cdot 1.8 =\underline{\underline{21.6\, cm}}[/tex]

b)
[tex]r = \frac{b}{v} \Rightarrow r = \frac{19}{0.63} \approx \underline{\underline{30.2\, cm}}[/tex]

I en sirkelsektor med radius r er vinkelen v. Finn en formel for arealet av sektoren uttrykkt ved r og v når v måles i radianer.

Hvis vi vet b, er arealet gitt ved:
[tex]A=\frac{b\cdot r}{2}[/tex]

Vi vet at dersom v er i radianer, har vi:
[tex]b = v\cdot r[/tex]

Vi setter inn for b
[tex]A = \frac{(v\cdot r)\cdot r}{2} = \underline{\underline{\frac 12 \cdot \left(v\cdot r^2\right)}}[/tex]

[MatteNoob]

En nautisk mil er buelengden som tilsvarer [tex]\left(\frac {1}{60}\right)\textdegree[/tex] langs en jordmeridian (sirkel gjennom polene på jorda). Sett jordradien lik 6371 km.

Hvor lang er en nautisk mil?

Jeg har aldri hørt om jordmeridian før, så jeg leste (den lenkede) artikkelen på Wikipedia før jeg angrep oppgaven.

[tex]r=6371 \\ \, \\ v= \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ} \\ \, \\ b=?[/tex]

[tex]b = (2\pi \cdot 6371)\cdot \frac{\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}}{360^{\circ}} \approx \underline{\underline{1.853\, km}}[/tex]

Dette uttrykket kunne vi forenklet ved å oppgi vinkelen i radianer.

[tex]v = \frac{\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}\cdot \pi}{180} \approx \underline{\frac {2.909}{10^4}}[/tex]

[tex]b=v\cdot r \\ \, \\ b = \frac{6371\cdot 2.909}{10^4} \approx \underline{\underline{1.853\, km}}[/tex]

Ble kanskje ikke så mye lettere i dette tilfellet, hehe.

[ettam]

Du kan sammenligne svaret ditt med Wikipedias verdi. En ganske bra tilnærming!

Oppgaven regner med at jorda er "kulerund", mens den egentlig er flattrykt på polene.

[MatteNoob]

Ettam: Se det! Matematikk er ikke dumt, hehehe :]

Løs likningene når [tex]x \in [0,\, 2\pi][/tex]

a)
[tex]3sinx-2 = 0 \\ \, \\ x=sin^{-1}\left(\frac 23\right) \\ \, \\ x \approx 0.729 \\ \, \\ x = 0.729 \,\,\, \vee \,\,\, x = \pi - 0.729 \\ \, \\ \underline{\underline{x\approx 0.73\,\,\,\vee\,\,\, 2.41}}[/tex]

b)
[tex]5cosx+3=0\\ \, \\ x = cos^{-1}\left(-\frac 35\right) \\ \, \\ x \approx 2.21 \,\,\,\vee \,\,\, 2\pi - 2.21 \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx 2.14\,\,\,\vee\,\,\,4.07}}[/tex]

c)
[tex]2tanx-3=0\\ \,\\ x = tan^{-1}\left(\frac 32\right) \\ \, \\ x \approx 0.983 \,\,\, 0.983 + \pi \\ \, \\ \underline{\underline{x\approx 0.98\,\,\,\vee\,\,\, 4.12}}[/tex]

d)
[tex]2sinx+3cosx=0\\ \, \\ 2sinx=-3cosx\\ \, \\ \frac{2sinx}{cosx}=\frac{-3\cancel{cosx}}{\cancel{cosx}} \,\,\,\,\,\,\,\, cosx\neq 0 \\ \, \\ 2tanx = -3 \\ \, \\ x = tan^{-1}\left(-\frac 32\right) \\ \, \\ x \approx -0.98 \\ \, \\ x \approx \pi - 0.98 \,\,\, \vee\,\,\, (\pi - 0.98)+\pi \\ \, \\ \underline{\underline{x\approx 2.16 \,\,\, \vee \,\,\, 5.30}}[/tex]

e)
[tex]8sin^2x-2sinx-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, u=sinx\\ \, \\8u^2 -2u-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{abc-formelen} \\ \, \\ x = sin^{-1}\left(\frac 12\right) \,\,\,\vee\,\,\, sin^{-1}\left(-\frac 14\right)\\ \, \\ \, \\ x=\frac \pi 6 \,\,\,\vee\,\,\, \pi - \frac \pi 6 \,\,\, \vee \,\,\, -0.25 \,\,\,\vee\,\,\, 2\pi - 0.25 \\ \, \\ \underline{\underline{L = \{\frac \pi 6 ,\, 2.62,\, 3.39,\, 6.03\}}}[/tex]

[MatteNoob]

Løs likningene for [tex]x\in[0,\, 2\pi\rangle[/tex]

Her fikk jeg store problemer, så jeg stilte endel spørsmål angående disse likningene i MatteNoobs spørsmål ang. Periodiske funksjoner 3MX. Takk til Dinithion og ettam som hjalp meg :]

a)
[tex]sin(3x) = 1 \\ \, \\ 3x = arcsin(1) \\ \, \\ 3x = \frac \pi 2 + k\cdot 2\pi \\ \, \\ x = \frac{\frac \pi 2 + k \cdot 2\pi}{3} \\ \, \\ x = \frac \pi 6 + k\cdot \frac{4\pi}{6} \\ \, \\ k \in \mathbb{Z} \\ \, \\ k = \{0,\, 1,\, 2\} \Rightarrow x\in [0,\, 2\pi\rangle \\ \, \\ \underline{\underline{L=\{\frac \pi 6,\, \frac{5\pi}{6},\, \frac{3\pi}{2}\}}}[/tex]

b)
[tex]cos(2x)=-1 \\ \, \\ 2x = arccos(-1) + k\cdot 2\pi \\ \, \\ x = \frac \pi 2 + k\cdot \pi \\ \, \\ k=\{0,1\} \Rightarrow x\in [0,\, 2\pi\rangle \\ \, \\ \underline{\underline{L=\{\frac\pi 2, \, \frac{3\pi}{2}\}}}[/tex]

c)
[tex]sin(4x)=-0.2 \\ \, \\ 4x=arcsin(-0.2) + k\cdot 2\pi \\ \, \\ 4x\approx -0.2 + k \cdot 2\pi \\ \, \\ 4x=(2\pi-0.2) + k\cdot 2\pi \,\,\,\vee\,\,\, (\pi + 0.2)+k\cdot 2\pi \\ \, \\ x = 1.52 + k\cdot \frac{\pi}{2} \,\,\,\vee\,\,\, 0.84+k\cdot \frac \pi 2\\ \, \\ k=\{0,\, 1,\, 2,\, 3\} \\ \, \\ \underline{\underline{L=\{0.84, \, 1.52,\, 2.41,\, 3.09,\, 3.98,\, 4.66,\, 5.55,\, 6.23\}}}[/tex]

d)
[tex]2cos(2x)=-1.6\\ \, \\ cos(2x) = -0.8\\ \, \\ 2x = arccos(-0.8) \\ \, \\ 2x = 2.5 + k\cdot 2\pi \,\,\,\vee\,\,\, (2\pi-2.5)+k\cdot 2\pi \\ \, \\ x = 1.25+k\cdot \pi \,\,\,\vee\,\,\, 1.89 + k\cdot \pi \\ \, \\ k=\left{0,\, 1\right} \Rightarrow x\in[0,\, 2\pi\rangle \\ \, \\ \underline{\underline{L=\left{1.25,\, 1.89,\, 4.39,\, 5.03\right}}}[/tex]

[MatteNoob]

Gitt vinklene:

[tex]\begin{matrix}{c} \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6}\end{matrix}[/tex]

Finn eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til disse vinklene.

For: [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex]

[tex]sin(\frac \pi 3 + \frac \pi 3) = 2\cdot \left(sin(\frac \pi 3) \cdot cos(\frac \pi 3)\right) = 2\cdot\left(\frac{\sqrt 3 \cdot 1}{2 \cdot 2}\right) = \underline{\underline{\frac{\sqrt 3}{2}}}[/tex]

[tex]cos(v+v)=cos2v=1-2sin^2v \Rightarrow 1-2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1-2\cdot \frac{3}{4} = \frac 44 - \frac 64 = \underline{\underline{\, -\frac 12 \, }} [/tex]

[tex]tan(\frac{2\pi}{3}) = \frac{sin(\frac{2\pi}{3})}{cos(\frac{2\pi}{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac 12} = \underline{\underline{-\sqrt 3}}[/tex]

For: [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]

[tex]sin(\frac{3\pi}{4}) = sin(\frac \pi 4 + \frac \pi 2) = sin(\frac \pi 2) \cdot cos(\frac \pi 4) = 1 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} = \underline{\underline{\, \frac{\sqrt 2}{2}\, }}[/tex]

[tex]cos(\frac{3\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0 - sin(\frac{\pi}{2}) \cdot cos(\frac \pi 4) = - \left(1\cdot \frac{\sqrt 2}{2}\right) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 2}{2}}}[/tex]

[tex]tan(\frac{3\pi}{4}) = \frac{sin(\frac{3\pi}{4})}{cos(\frac{3\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{-\frac{\sqrt 2}{2}} = \frac{\sqrt 2}{2} \cdot -\frac{2}{\sqrt 2} = \underline{\underline{\, -1\, }} [/tex]

For: [tex]\frac{5\pi}{6}[/tex]

[tex]sin(\frac{5\pi}{6}) = sin(\frac \pi 2 + \frac \pi 3) = sin(\frac \pi 2) \cdot cos(\frac \pi 3) = 1 \cdot \frac 12 = \underline{\underline{\, \frac 12\, }}[/tex]

[tex]cos(\frac{5\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 3}{2}}}[/tex]

[tex]tan(\frac{5\pi}{6}) = \frac{sin(\frac{5\pi}{6}) }{cos(\frac{5\pi}{6})} = \frac{\frac 12}{-\frac{\sqrt 3}{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt 3}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3} = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 3}{3}}} [/tex]

[MatteNoob]

Uttrykk følgende vinkler ved [symbol:pi]:

[tex]\begin{matrix} 210\textdegree & 225\textdegree & 240\textdegree & 300\textdegree & 315\textdegree & 210\textdegree & 330\textdegree\end{matrix}[/tex]

Finn eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til disse vinklene

For: [tex]210\textdegree[/tex]

[tex]210\textdegree = 2\cdot 90\textdegree + 30\textdegree \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \pi + \frac \pi 6 = \underline{\underline{\frac{7\pi}{6}}}[/tex]

[tex]sin(\frac{7\pi}{6}) = sin(\pi +\frac \pi 6) = -sin(\frac \pi 6) = \underline{\underline{\, -\frac 12\, }}[/tex]

[tex]cos(\frac{7\pi}{6})=cos(\pi + \frac \pi 6) = -cos(\frac \pi 6) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 3}{2}}}[/tex]

[tex]tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{ sin(\frac{7\pi}{6}) } { cos(\frac{7\pi}{6}) } = \frac{ -\frac 12}{ -\frac{\sqrt 3}{2} } =\underline{\underline{ \frac{\sqrt 3}{3}}}[/tex]

For: [tex]225\textdegree[/tex]

[tex]225\textdegree = 2\cdot 90\textdegree + 45\textdegree \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \pi + \frac \pi 4 = \underline{\underline{\frac{5\pi}{4}}}[/tex]

[tex]sin(\pi - \frac \pi 4) = -sin(\frac \pi 4) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 2}{2}}}[/tex]

[tex]cos(\pi - \frac \pi 4) = -cos(\frac \pi 4) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}[/tex]

[tex]tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{ sin(\frac{5\pi}{4})}{cos(\frac{5\pi}{4})} = \underline{\underline{\, 1\,}}[/tex]

For: [tex]240\textdegree[/tex]

[tex]240\textdegree = 2\cdot 90\textdegree + 60\textdegree \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \pi + \frac \pi 3 = \underline{\underline{\frac{4\pi}{3}}}[/tex]

[tex]sin(\frac{4\pi}{3}) = sin(\pi + \frac \pi 3) = -sin(\frac \pi 3) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 3}{2}}}[/tex]

[tex]cos(\frac{4\pi}{3}) = cos(\pi + \frac \pi 3) = -cos(\frac \pi 3) = \underline{\underline{-\frac 12}}[/tex]

[tex]tan(\frac{4\pi}{3}) = \frac{ sin(\frac{4\pi}{3})}{cos(\frac{4\pi}{3})} = \frac{ - \frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac 12} = \underline{\underline{\frac{2\sqrt 3}{3}}}[/tex]

For: [tex]300\textdegree[/tex]

[tex]300\textdegree = 3\cdot 90\textdegree + \frac \pi 6 \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ 3 \cdot \frac \pi 2 + \frac \pi 6 =\frac{10\pi}{6} = \underline{\underline{\frac{5\pi}{3}}}[/tex]

[tex]sin(\pi + \frac \pi 2 + \frac \pi 6) = -sin(\frac \pi 2 + \frac \pi 6) = -cos(\frac \pi 6) = \underline{\underline{-\frac{\sqrt 3}{2}}}[/tex]

[tex]cos(\pi + \frac \pi 2 + \frac \pi 6) = -cos(\frac \pi 2 + \frac \pi 6) = -\left(-1 \cdot sin(\frac \pi 6)\right) = \underline{\underline{\, \frac 12\, }}[/tex]

[tex]tan\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac 12} =\underline{\underline{ -\sqrt 3}}[/tex]

Edit: Jeg orker ikke ta flere av disse nå. Det er rutine... Kommer heller tilbake og tar de siste senere.

[MatteNoob]

Parabelen y=-x[sup]2[/sup] har toppunkt i origo. Finn toppunktet til funksjonene uten å derivere og tegne grafene.

a) [tex]f(x) = -(x-2)^2[/tex]

b) [tex]f(x) = -(x+4)^2[/tex]

c) [tex]f(x) = -x^2 + 4[/tex]

d) [tex]f(x) = -(x+2)^2 + 1[/tex]

Generelt for oppgavene har vi at:
[tex]f(x) = -(x\pm a)^2 \pm b[/tex]

Der a angir forskyvningen i forhold til x-aksen og b angir forskyvningen i forhold til y-aksen. Dersom a og b er null, finner vi toppunktet i origo, og følgelig er fortegnet til a & b determinatoren for hvilken "kvadrant" vi finner ekstremalpunktet i.

Punktene for a-d er:
[tex](2,\, 0);\; (-4,\, 0);\; (0,\, 4) \, og \, (-2,\, 1)[/tex]

[MatteNoob]

Tegn grafen til funksjonene:

[tex]\underbrace{f(x) = sin(x) \\ \, \\ g(x) = sin(2x) \\ \, \\ h(x) = sin(3x)}_{x\in\left[0,\; 2\pi \rangle}[/tex]

Hvor mange hele perioder for du for hver av de tre funksjonene? Hva er perioden til funksjonene f, g og h?

Vi har at perioden, P, er gitt ved:

[tex]\rm{P} = \frac{2\pi}{|c|}\;\; \text{der c er gitt ved}\;\; sin(cx)[/tex]

Dermed er perioden for hver av de tre funksjonene som følger:
[tex]2\pi,\; \pi,\; \frac 23\pi[/tex]

Følgelig ser vi 1, 2 og 3 perioder for hver av funksjonene i det angitte intervallet. Dette kan vi også finne matematisk ved å gjøre som følger:

[tex]\text{Fulle perioder} = \frac{2 \pi }{\frac 23 \pi} = 3[/tex]