Vektorer - finne skjæringspunkt

14/10-2009 19:21

Oppgave 1

Tegn en trekant ABC. Et punkt [tex]P[/tex] ligger på [tex]BC[/tex] slik at [tex]BP:PC = 1:4[/tex]. Et punkt [tex]Q[/tex] ligger på [tex]AC[/tex] slik at [tex]AQ:QC = 3:1[/tex].
Sett

[tex] \vec{AB} = \vec{a} [/tex]

[tex] \vec{AC} = \vec{b}[/tex]

a) Merk av [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex] på tegningen og bestem [tex]\vec{AP}[/tex] og [tex]\vec{BQ}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] . La [tex]S[/tex] være skjæringspunktet mellom [tex]\vec{BQ}[/tex] og [tex]\vec{AP}[/tex].

b) Finn på to måter og bestem [tex]\vec{AS}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{b}[/tex] og [tex] \vec{a}[/tex].

Klarer fint a) men har ikke peiling på b) tror at jeg må sette opp to likninger men trenger mye hjelp her.

Utregning så langt

[tex] AB = \vec{a} [/tex]

[tex] AC = \vec{b} [/tex]

[tex] BA + AC = BC[/tex]

[tex] - \vec{a} + \vec{b} = BC[/tex]

[tex] \vec{b} - \vec{a} = BC[/tex]

[tex] AB + BP = AP[/tex]

[tex] BP = \frac{1}{5}AC[/tex]

[tex] AB + \frac{1}{5}AC = AP[/tex]

[tex] \vec{a} + \frac{1}{5}\left( { \vec{b} - \vec{a} } \right) = AP[/tex]

[tex] \frac{1}{5}\left( { \vec{b} + 4 \vec{a} } \right) = AP [/tex]

[tex] BA + AQ = BQ[/tex]

[tex]AQ = \frac{3}{4}AC[/tex]

[tex] BA + \frac{3}{4}AC = BQ[/tex]

[tex] - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = BQ [/tex]

[tex] \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{4}{4} \vec{a} = BQ[/tex]

[tex] \frac{{3 \vec{b} - 4 \vec{a} }}{4} = BQ [/tex]

[tex] \frac{1}{4}\left( {3 \vec{b} - 4 \vec{a} } \right) = BQ[/tex]

[tex] AS = BQ \cdot x[/tex]
[tex] AS = AP \cdot y + AB [/tex]

Og selvfølgelig fin tegning

http://www.dump.no/files/e5b7f88c5d2b/vektorer.JPG

Spørsmålet er hvordan finner jeg [tex]S[/tex] og hvordan uttrykker jeg [tex]\vec{AS}[/tex] ?

14/10-2009 19:43

De to uttrykkene dine må være like. Du har altså at [tex]\vec{BQ} \cdot x = \vec{AP} \cdot y + \vec{AB}[/tex]. Det første du kan gjøre er jo å benytte uttrykkene dine du fant i a). Deretter ganger du ut og ordner slik at du har to ledd på hver sin side, ett med [tex]\vec{a}[/tex] med tilhørende koeffisienter, og ett med [tex]\vec{b}[/tex]. Hva må så gjelde for koeffisientene dersom vektorsummene på hver side skal være like?

14/10-2009 20:20

Det der forstod jeg lite av...

Antagligvis fordi jeg ikke vet om de to siste uttrykkene jeg stillte opp er like. Ikke gi meg fasitt ! Bare si om de to ligningene jeg satt opp er riktig, eventuelt om du er veldig grei sett stykket opp riktig

Skal prøve å regne litt, se hva som skjer.

14/10-2009 20:22

Unnskyld, jeg skreiv et likhetstegn i stedet for pluss i sted!

Det jeg mener er at de to uttrykkene du har funnet for AS-vektor, er like. Altså kan du sette likhetstegn mellom dem. Hvis du nå bytter ut vektorene i ligningen med de uttrykkene du fant i a), altså vektorene utrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex], så ser du at du kan gange ut og rydde opp litt.

14/10-2009 20:28

Er jeg helt på jordet ?

[tex] \frac{1}{5}\left( {b + 4a} \right) = AP[/tex]

[tex] \frac{1}{4}\left( {3b - 4a} \right) = BQ [/tex]

[tex] AS = AP \cdot x [/tex]

[tex] AS = AB + BQ \cdot y[/tex]

[tex] AP \cdot x = AB + BQ \cdot y [/tex]

[tex] \frac{1}{5}\left( {b + 4a} \right) = a + \frac{1}{4}\left( {3b - 4a} \right)[/tex]

[tex] \frac{b}{5} + \frac{{4a}}{5} = a + \frac{{3b}}{4} - a [/tex]

[tex] \frac{{4a}}{5} = \frac{{3b}}{4} - \frac{b}{5}[/tex]

[tex] \frac{{4a}}{5} = \frac{{15b - 4b}}{{20}} [/tex]

[tex] \frac{4}{5}a = \frac{{11}}{{20}}b [/tex]

Hvordan går jeg videre ?

14/10-2009 20:33

Du er nok litt på jordet når du har kommet til den siste konklusjonen der ja -- a og b er vektorer med forskjellig retning, og de blir aldri like uansett hvilken skalar du ganger dem med.

Men så veldig på jordet er du ikke, du har bare glemt variablene x og y. Det blir jo feil uten disse variablene, da vi på forhånd ikke vet hvor langt langs BQ og AP vi skal gå for å komme fra A til S -- det er jo det vi skal finne ut! Det er jo x og y du er ute etter å finne i denne oppgaven.

(Og husk sånn for ordens skyld at alt her utenom x og y er vektorer, så de skal egentlig ha piler)

14/10-2009 20:52

Vet at jeg skal ha piler, og har det på innleveringen men det tar sånn tid og skrive det i latex. tror jeg forstod det nå. Fikk en ahah opplevelse

[tex] \frac{1}{5}\left( {b + 4a} \right) = AP [/tex]

[tex]\frac{1}{4}\left( {3b - 4a} \right) = BQ [/tex]

[tex]AS = AP \cdot x [/tex]

[tex]AS = AB + BQ \cdot y [/tex]

[tex]AP \cdot x = AB + BQ \cdot y [/tex]

[tex] \left( {\frac{1}{5}\left( {b + 4a} \right)} \right)x = a + \left( {\frac{1}{4}\left( {3b - 4a} \right)} \right)y [/tex]

[tex]\left( {\frac{b}{5} + \frac{{4a}}{5}} \right)x = a + \left( {\frac{{3b}}{4} - a} \right)y [/tex]

[tex]\frac{{bx}}{5} + \frac{{4ax}}{5} = a + \frac{{3by}}{4} - ay [/tex]

[tex] \frac{{bx}}{5} - \frac{{3by}}{4} = a - ay - \frac{{4ax}}{5} [/tex]

[tex] 4bx - 15by = 20a - 20ay - 20ax [/tex]

[tex]b\left( {4x - 15y} \right) = a\left( {20 - 20y - 20x} \right) [/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] 20 - 20y - 20x=0[/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] x + y = 1 [/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] x = 1 - y [/tex]

[tex] 4\left( {1 - y} \right) - 15y = 0 [/tex]

[tex] 4 - 4y - 15y = 0 [/tex]

[tex] \frac{{ - 19y}}{{19}} = \frac{{ - 4}}{{19}} [/tex]

[tex] y = \frac{4}{{19}} [/tex]

[tex] x + y = 1 [/tex]

[tex]x + \frac{4}{{19}} = 1 [/tex]

[tex]x = \frac{{19}}{{19}} - \frac{4}{{19}} [/tex]

[tex]x = \frac{{15}}{{19}} [/tex]

To ting, jeg har enda ikke uttrykt [tex]\vec{AS}[/tex] med [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] vektorer.

Hva betyr disse x og y vektorene ? Står ufattelig dårlig forklart i boken.

Betyr det at [tex]\vec{AP} \cdot \frac{15}{19} = \vec{AS}[/tex] ?

Slik at for å finne [tex]\vec{AS}[/tex] løser jeg bare det stykket der ?

14/10-2009 21:06

Det virker litt rart å gange ut for så å flytte alt som har med a-vektor på en side og alt som har med b-vektor på andre siden, og så kreve at koeffisientene er 0. Det går jo, men er litt ulogisk. Du kunne i stedet ha samlet i to ledd på begge sider:

[tex]\frac{bx}{5} + \frac{4ax}{5} = (1 - y)a + \frac{3by}{4}[/tex]

[tex]\frac{1}{5}x \cdot b + \frac{4}{5}x \cdot a = (1 - y)a + \frac{3}{4}y \cdot b[/tex]

Da må vektorene være like dersom leddene er like, som betyr at [tex]\frac{1}{5}x = \frac{3}{4}y[/tex] og at [tex]\frac{4}{5}x = (1 - y)[/tex].

Men du gjør en slurvefeil når du ganger med 20 på begge sider. I brøken helt til høyre vil du stå igjen med -16ax.

edit: og det siste du lurte på: x og y er ikke vektorer, de er skalarer. x er hvor langt du må gå langs AP for å komme til AS, altså hvor stor del AS utgjør av AP. På tilsvarende måte er y hvor langt du må gå langs BQ. Så ja, det er slik du foreslår du finner AS-vektor uttrykt ved a og b. Du kan også bruke det andre uttrykket, selvfølgelig, og da bruker du y-verdien.

14/10-2009 21:22

Da får jeg [tex]x = \frac{15}{16}[/tex] og [tex]y = \frac{1}{4} [/tex]

Så ganger jeg x med [tex]\vec{AP}[/tex] for å få [tex]\vec{AS}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] ?

Så ikke at du hadde redigert det, skal bare regne ut litt til så kommer jeg med svar. Tusen, tusen takk for hjelpen.Forstod faktisk hva det var jeg holdt på med nå. Du er virkelig vektormannen

14/10-2009 21:29

Da får vi samme x- og y-verdier

Så x = 15/16 betyr altså at S ligger slik at det deler linja AP i forholdet AS:SP = 15:1. På samme måte betyr y = 1/4 at S deler BQ i forholdet BS:SQ = 1:3.

Og angående å finne vektoren så ganger du som du sier [tex]\vec{AP}[/tex] med x for å finne [tex]\vec{AS}[/tex]. Som kontroll kan du også bruke at [tex]\vec{AS} = \vec{AB} + \vec{BQ} \cdot y[/tex]. Hvis du har gjort rett så skal jo begge bli like.

14/10-2009 21:57

No more latex !

Ser dette greit ut, untatt det du sa om måten jeg omformulerte ligningsettet mitt på ?

[tex]\frac{1}{5}\left( {\vec{b} + 4\vec{a}} \right) = \vec{AP} [/tex]

[tex] \frac{1}{4}\left( {3\vec{b} - 4\vec{a}} \right) = \vec{BQ} [/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{AP} \cdot x[/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{AB} + \vec{BQ} \cdot y [/tex]

[tex] \vec{AP} \cdot x = \vec{AB} + \vec{BQ} \cdot y [/tex]

[tex] \left( {\frac{1}{5}\left( {\vec{b} + 4\vec{a}} \right)} \right)x = \vec{a} + \left( {\frac{1}{4}\left( {3\vec{b} - 4\vec{a}} \right)y} \right)[/tex]

[tex] \left( {\frac{\vec{b}}{5} + \frac{{4\vec{a}}}{5}} \right)x = \vec{a} + \left( {\frac{{3\vec{b}}}{4} - \vec{a}} \right)y [/tex]

[tex]\frac{{\vec{b}x}}{5} + \frac{{4\vec{a}x}}{5} = \vec{a} + \frac{{3\vec{b}y}}{4} - \vec{a}y[/tex]

[tex]\frac{{\vec{b}x}}{5} - \frac{{3\vec{b}y}}{4} = \vec{a} - \vec{a}y - \frac{{4\vec{a}x}}{5}[/tex]

[tex] 4\vec{b}x - 15\vec{b}y = 20\vec{a} - 20\vec{a}y - 16\vec{a}x [/tex]

[tex]\vec{b}\left( {4x - 15y} \right) = \vec{a}\left( {20 - 20y - 16x} \right)[/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] 20 - 20y - 16x = 0 [/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex]20 - 20y - 16x = 0 [/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] 16x + 20y = 20 [/tex]

[tex] - 16x + 60y = 0 [/tex]
[tex] 16x + 20y = 20[/tex]

[tex] 80y = 20[/tex]

[tex] \frac{{80y}}{{20}} = \frac{{20}}{{80}} [/tex]
[tex] \underline{\underline {y = \frac{1}{4}}} [/tex]

[tex] 4x - 15y = 0 [/tex]
[tex] 4x - 15\frac{1}{4} = 0 [/tex]

[tex] \frac{{4x}}{4} = \frac{{15}}{4}:4 [/tex]

[tex] x = \frac{{15}}{4} \cdot \frac{1}{4} [/tex]

[tex] \underline{\underline {x = \frac{{15}}{{16}}}} [/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{AP} \cdot x [/tex]

[tex] \vec{AS} = \frac{1}{5}\left( {\vec{b} + 4\vec{a}} \right)\frac{{15}}{{16}} [/tex]

[tex] \vec{AS} = \frac{3}{{16}}\left( {\vec{b} + 4\vec{a}} \right)[/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{AB} + \vec{BQ} \cdot y [/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{a} + \frac{1}{4}\left( {3\vec{b} - 4\vec{a}} \right)\frac{1}{4} [/tex]

[tex] \vec{AS} = \vec{a} + \frac{1}{4}\left( {3\vec{b} - 4\vec{a}} \right)\frac{1}{4}[/tex]

[tex] \vec{AS} = \frac{{16\vec{a} + \left( {3\vec{b} - 4\vec{a}} \right)}}{{16}}[/tex]

[tex] \vec{AS} = \frac{{\left( {3\vec{b} + 12\vec{a}} \right)}}{{16}} [/tex]

[tex] \vec{AS} = \frac{3}{{16}}\left( {\vec{b} + 4\vec{a}} \right)[/tex]

14/10-2009 22:06

Ser fint ut ja

Men slik det er nå bør du muligens forklare kort hvordan du går fra vektorligningen og over til ligningssettet med 4x - 15y = 0 og 20 - 20y - 16x = 0. Her blir vel forklaringen noe sånt som at disse to kravene må gjelde dersom vektorligningen skal holde (a- og b-vektor vil jo aldri bli like dersom skalarane er noe annet enn 0). Men som sagt i ovenfor så er dette en litt bakvendt tankegang uansett. Men det er ikke feil altså.

14/10-2009 22:31

Prøver meg likesågodt på enda en oppgave
Fillebok som ikke forklarer noen verdens ting

[tex]|\vec{a}|=5[/tex] , [tex]|\vec{b}|=3[/tex] og [tex]\angle \; ( \vec{a} , \vec{b} ) \; = 60^{\circ}[/tex]

Vinkeltegnet skal kunn være vinkelen, ingen strek, lurer på hvorfor latex ikke vil fungere skikkelig i dag...

a) Regn ut [tex]\vec{u}=\vec{a} + \vec{b}[/tex] og [tex]\vec{v}=\vec{a} - \vec{b} [/tex]

b) Finn vinkelen mellom [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] ved regning

Har løst a) og b) ved tegning ( og i geogebra ) , men vet ikke hvordan jeg kan regne ut a) og b)...

Noen tips ? Vinkelen blir ca 71 grader.

Andreas345 · 15/10-2009 01:19

Tips:

Husk på at [tex]|\vec{u}|^2=\vec{u}^2 \Leftrightarrow |u|=sqrt{\vec{u}^2}[/tex] og at [tex]u=|\vec{u}|[/tex]

Følgelig blir [tex]|\vec{u}|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]

[tex]a\cdot b=5\cdot 3\cdot \cos(60)=\frac{15}{2}[/tex]

[tex]a^2=|a|^2=25[/tex] og [tex]b^2=|b|^2=9[/tex]

[tex]|\vec{u}|^2=25+2\cdot \frac{15}{2}+9=49[/tex]

[tex]|\vec{u}|=u=sqrt{49}=7[/tex]

Gjenta det samme med [tex]\vec{v}[/tex]

Og på oppgave b) bruker du skalarproduktet til å finne vinkelen mellom de to vektorene, men pass på at:

[tex]\vec {u} \cdot \vec{v}=(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2[/tex]

For øvrig blir vinkelen [tex]\approx 58,37^{\circ}[/tex]. I følge mine beregninger.

Andreas345 · 15/10-2009 01:51

Fant forresten en annen lignende oppgave som du kunne bryne deg på, Nebuchadnezzar.

I et koordinatsystem har vi punktene [tex] A(-1,2), B(8,-1), C(9,3) [/tex] og [tex] D(3,5) [/tex] .
Punktet E ligger i krysningspunktet mellom [tex] \vec{AC} [/tex] og [tex] \vec{BD} [/tex] . Finn to uttrykker for [tex] \vec{OE} [/tex] der du bruker [tex] \vec{AC} [/tex] i den ene, og [tex] \vec{BD} [/tex] i det andre.

Er samme tankegang som den oppgaven du hadde.