Funksjoner

[Nebuchadnezzar]

Har noen funksjonspørsmål her, håper noen kunne være så vennlige å hjelpe meg med de.

En funksjon er gitt ved [tex]f(x) \: = \: 4x^2 - 2kx + k[/tex] der [tex]k \: = \: \mathbb{Z}[/tex]

a) Bestem for hvilke verdier av [tex]k[/tex] , [tex]f(x)[/tex] ikke krysser [tex]x[/tex] aksen.

b) En annen funksjon [tex]g(x)[/tex] er gitt ved [tex]x+1[/tex], bevis at for alle verdier av [tex]k[/tex] så krysser funksjonene.

c) Bestem alle linjer som tangerer [tex]f(x)[/tex] når [tex]f(x)[/tex] ikke krysser [tex]x[/tex] aksen og som går igjennom origo

a) Denne var rimelig enkel, jeg løste den slik.


[tex] f\left( x \right) = 4{x^2} - 2kx + k [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \: = \: \frac{{ - \left( { - 2k} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 2k} \right)}^2} - 4\left( 4 \right)\left( k \right)} }}{{2\left( 4 \right)}} \: = \: \frac{{2k \pm \sqrt {4{k^2} - 16k} }}{8} [/tex]

[tex] 4{k^2} - 16k < 0 [/tex]

[tex] 4k\left( {k - 4} \right) < 0[/tex]

[tex] 0 < k < 4 [/tex]

[tex] \underline{\underline {k = 1{\rm{ }}k = 2{\rm{ }}og{\rm{ }}k = 3}} [/tex]

Men, hvordan løser jeg b og c, står helt fast :/

[Betelgeuse]

Jeg ser ikke helt hvordan denne oppgaven skal løses, men er ikke det du har funnet i a) for hvilke tall [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] hvor vi får en reell og ikke en kompleks løsning?

Dette vil forresten også gjelde for

[tex]k > 4 \wedge k < 0 \in \mathbb{Z}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Snudde noen piler feil vei... Nå er det riktig.

Finner selvfølgelig de komplekse løsningene...

[Markonan]

b)
Anta at k er en vilkårlig verdi.
Løs f(x) = g(x) med hensyn på k.

Kanskje du klarer å ta det selv derfra.

[Betelgeuse]

Ah, så ved å finne verdier for k der f(x)=0 ikke har noen reell løsning finner vi verdier der f(x)=0 ikke skjærer x-aksen? Gir jo mening.

[Nebuchadnezzar]

Mulig løsning på b)

[tex]f\left( x \right) = g\left( x \right) [/tex]

[tex] t\left( k \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) [/tex]

[tex] t\left( k \right) = 4{x^2} - 2kx + k - x - 1 [/tex]

[tex] t\left( k \right) = 4{x^2} - x\left( {2k + 1} \right) + \left( {k - 1} \right) [/tex]

Setter funksjonene like hverandre og faktoriserer. Ser at dette er en andregradsfunksjon og bruker formelen.

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( {2k - 1} \right) \pm \sqrt {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} - 4\left( {k - 1} \right)4} }}{{2 \cdot 4}} [/tex]

Dersom det under rottegnet er negativt, betyr det at det finnes et punkt der funksjonene aldri krysser

[tex] {\left( {2k + 1} \right)^2} - 4\left( {k - 1} \right)4 < 0 [/tex]

[tex] \left( {4{k^2} + 4k + 1} \right) - \left( {16k - 16} \right) < 0 [/tex]

[tex] 4{k^2} - 12k + 17 < 0 [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 12} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 12} \right)}^2} - 4\left( 4 \right)\left( {17} \right)} }}{{2\left( 4 \right)}} = \frac{{12 \pm \sqrt {144 - 272} }}{8} = \frac{{12 \pm 8i\sqrt 2 }}{8} = \frac{3}{2} \pm i\sqrt 2[/tex]

Her ser vi at funksjonen aldri blir mindre enn null, dermed har vi bevist at for alle k så vil funksjonene krysse hverandre ^^

Nå mangler bare c...

[Vektormannen]

c) Ta utgangspunkt i et uttrykk for tangentlinja: [tex]y - y_0 = a(x - x_0)[/tex] der [tex](x_0,y_0)[/tex] er tangeringspunktet. Dette gir [tex]y = a(x-x_0) + y_0 = f^\prime(x_0)(x - x_0) + f(x_0)[/tex]. Oppgaven sier at linjen skal gå gjennom origo. Da må konstantleddet være 0. Hva blir konstantleddet i dette uttrykket? Kan du bruke dette til å finne [tex](x_0, y_0)[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Altså det vi prøver å finne er en linje som går gjennom origo og tangerer f(x). Som betyr at y og f(x) bare har et skjæringspunkt...

Forstår ikke helt innlegget ditt. Første linjene var greie men falt helt ut på slutten...

gjorde det her, men aner virkelig ikke hva jeg gjør..


[tex] y - {y_0} = a\left( {x - {x_0}} \right) [/tex]

[tex] y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( x \right) [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( x \right) [/tex]

[tex] y = \left( {8x - 2k} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {4{x^2} - 2kx + k} \right)[/tex]

[tex] y = 8{x^2} - 2kx - 8x\left( {{x_0}} \right) + 2k\left( {{x_0}} \right) + 4{x^2} - 2kx + k [/tex]

[tex] y = 16{x^2} - 4kx - 8x\left( {{x_0}} \right) + 2k\left( {{x_0}} \right) + k [/tex]

[tex] y = 16{x^2} - x\left( {8{x_0}} \right) - k\left( {4x + 2\left( {{x_0}} \right) + 1} \right) [/tex]

Skal jeg så finne ut når y bare har en løsning ? Skal jeg sette y=f(x) pg finne ut når den bare har en løsning...

Dersom konstantleddet er 0 betyr det at

[tex] - f^{\prime}\left( {{x_0}} \right){x_0} + f\left( x \right)=0[/tex]

Tror jeg trenger litt mer hjelp :p

[Vektormannen]

Husk at [tex]y_0 = f(x_0)[/tex]. Så setter du opp som du gjorde til slutt her, at [tex]-f^\prime(x_0) \cdot x_0 + f(x_0) = 0[/tex]. Da får du et uttrykk for [tex]x_0[/tex]. Videre trenger du bare å finne stigningstallet, [tex]f^\prime(x_0)[/tex]. Da vil du ha et uttrykk for alle tangeringslinjer som går gjennom origo. Du velger ut bestemte linjer ved å variere k. Så må du også huske på at oppgaven spør om tangeringslinjene når f er over x-aksen. Da må du bestemme hvilke k-verdier dette gjelder for.

[Nebuchadnezzar]

Antagligvis er jeg veldig trøtt... Forstår fortsatt ikke hvordan man kan finne x_0 når man ikke har noe å gå etter... Annet enn at linjen skal tangere f(x) og at den skal gå igjennom origo...

Og det var en generell formel ja.

Linjenene der f(x) er over x aksen er når k=1,2,3

EDIT, tenkte litt mer. Ser dette riktig ut ?


[tex] - f^{\prime}\left( {{x_0}} \right){x_0} + f\left( {{x_0}} \right) = 0 [/tex]

[tex] la{\rm{ }}{x_0} = t [/tex]

[tex] - f^{\prime}\left( t \right)t + f\left( t \right) = 0 [/tex]

[tex] - (8t - 2k)t + 4{t^2} - 2kt + k = 0 [/tex]

[tex] - 4{t^2} + k = 0 [/tex]

[tex]t = \pm \frac{1}{2}\sqrt k [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( {\frac{1}{2}\sqrt k } \right)\left( {x - \frac{1}{2}\sqrt k } \right) + f\left( {\frac{1}{2}\sqrt k } \right) [/tex]

[tex] y = (4\sqrt k - 2k)(x - \frac{1}{2}\sqrt k ) + 2k - {k^{3/2}} [/tex]

[tex] y = 4\sqrt k x - 2kx [/tex]

[tex] y\left( 1 \right) = 2x [/tex]

[tex] y\left( 2 \right) = 4\sqrt 2 x - 4x [/tex]

[tex] y\left( 3 \right) = 4\sqrt 3 x - 6x [/tex]

[Vektormannen]

Du kan finne [tex]x_0[/tex] nettopp ut fra ligningen [tex]-f^\prime(x_0) \cdot x_0 + f(x_0) = 0[/tex]. Løser du denne får du [tex]x_0[/tex] uttrykt ved k.

[Nebuchadnezzar]

Da virker det som den endelig gikk opp. Tusen takk for hjelpen ^^

For en luddig men gøy oppgave.

[Vektormannen]

Absolutt

Men jeg mistenker at det kan være enklere måter å gjøre det på...

[Nebuchadnezzar]

Ja det hadde vær virkelig gøy å se, noen som tar utfordringen ?