Problematisk integral

[Nebuchadnezzar]

Vi har funksjonen f(x)=(n^2+n)^x der n>0
Finn arealet av funksjonen fra minus uendelig til 0.

[tex]\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + 1} \right)}} = \frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + \frac{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{\ln \left( {n + 1} \right){n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} + C}}[/tex]

Integralet er ikke så veldig vanskelig. Problemet er bare når jeg skal drøfte hva funksjonen går mot når x går mot minus uendelig.

Ser rimelig greit dette, problemet blir bare for små verdier av n. Ser at det finnes en eller annen grense som gjør at når n blir mindre enn denne går funksjonen mot uendelig. Noen tips til hvordan jeg finner denne?

[Markonan]

Sjekket integalet ditt på wolfram alpha, og den gir et litt forskjellig svar på integralet.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... B1%29^x+dx

[Nebuchadnezzar]

Fant ut av problemet mitt, og takk for at du oppdaget feilen i integrasjonen min. Skrev bare av det jeg kladdet for hånd. Tok integralet på kalkulatoren senere, og regnet derfra. La ikke merke til at de var forskjellige

[tex]\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \frac{{\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + \frac{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} + C}} [/tex]

Fant uansett ut at grensen var [tex]\varphi^{-1}[/tex] som er litt artig og spesielt.

[Nebuchadnezzar]

Og er er løsningen for alle som var er interreserte, noen som har noen kommentarer til føring og evetuelle feil?

[tex] \int\limits_{ - \infty }^0 {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx [/tex]

[tex] \int {uv^{\tiny\prime}} = uv - \int {u^{\tiny\prime}v} [/tex]

[tex] u = {n^x},u^{\tiny\prime} = \ln \left( n \right) \cdot {n^x}{\rm{ }}og{\rm{ }}v^{\tiny\prime} = {\left( {n + 1} \right)^x},v = \frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{\left( {n + 1} \right)^x} [/tex]

[tex] \int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = {n^x}\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{\left( {n + 1} \right)^x} - \int {\ln \left( n \right){n^x}\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} [/tex]


[tex] \int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = {n^x}\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{\left( {n + 1} \right)^x} - \frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx [/tex]

[tex] \frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx + \int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{\left( {n + 1} \right)^x} [/tex]

[tex]\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + 1} \right)\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = {n^x}{\left( {n + 1} \right)^x} [/tex]

[tex]\int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \frac{{\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\left( {\frac{{\ln \left( n \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}} + \frac{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}} \right)}} = \frac{1}{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{\left( {n + 1} \right)^x} \cdot \left( {\frac{{\ln \left( {n + 1} \right)}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}}} \right) = \underline {\frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}}} + C [/tex]

[tex] \int {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}dx} = \frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} [/tex]

[tex] Vi{\rm{ }}ser{\rm{ }}at{\rm{ }}arealet{\rm{ }}er{\rm{ }}udefinert{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }} {\lim }\limits_{n \to 0} {\rm{ }}siden{\rm{ }}\ln \left( 0 \right){\rm{ }}er{\rm{ }}udefinert.{\rm{ }}Alts{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}n > 0 [/tex]

[tex] Funksjonen{\rm{ er strengt voksende eller strengt synkende}}{\rm{, og dette avhengerav n}}{\rm{. }} [/tex]

[tex] {\rm{Vi kan finn ut hvor den er synkende og voksende ved {\aa} dr{\o}fte den deriverte}}{\rm{. }} [/tex]

[tex] {\rm{Der funksjonen monotont synkende vil funksjonen g{\aa} mot uendelig n{\aa}r x g{\aa}r mot uendelig}}[/tex]

[tex] {\rm{Der funksjonen er monotont synkende vil funksjonen g{\aa} mot null n{\aa}r x g{\aa}r mot uendelig }} [/tex]

[tex] f\left( {x,n} \right) = {n^x}{\left( {n + 1} \right)^x} [/tex]

[tex] \left( {uv} \right)^{\tiny\prime} = u^{\tiny\prime}v + uv^{\tiny\prime}{\rm{ }}der{\rm{ }}u = {n^x},u^{\tiny\prime} = \ln \left( n \right){n^x}{\rm{ }}og{\rm{ }}v = {\left( {n + 1} \right)^x},v^{\tiny\prime} = \ln \left( {n + 1} \right){\left( {n + 1} \right)^x} [/tex]

[tex] \frac{{df}}{{dx}} = 0 \Leftrightarrow \ln \left( n \right){n^x}{\left( {n + 1} \right)^x} + {n^x}{\left( {n + 1} \right)^x}\ln \left( {n + 1} \right) = 0 [/tex]

[tex] {n^x}{\left( {n + 1} \right)^x}\left( {\ln \left( n \right) \cdot 1 + 1 \cdot \ln \left( {n + 1} \right)} \right) = 0 [/tex]

[tex] Ser{\rm{ }}vi{\rm{ }}at{\rm{ }}{n^x}{\left( {n + 1} \right)^x} \ge 0{\rm{ }}for{\rm{ }}alle{\rm{ }}verdier{\rm{ }}av{\rm{ }}x.{\rm{ }}Dermed{\rm{ }}er{\rm{ }}\det {\rm{ }}siste{\rm{ }}led\det {\rm{ }}eneste{\rm{ }}mulighet{\rm{ }}for{\rm{ }}at{\rm{ }}stigningstallet{\rm{ }}er{\rm{ }}null. [/tex]

[tex] \ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right) = 0 [/tex]

[tex] \ln \left( {{n^2} + n} \right) = 0 [/tex]

[tex] {n^2} + n = 1 [/tex]

[tex] n = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4\left( 1 \right)\left( { - 1} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}\frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \frac{{5 - 1}}{{2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt 5 + 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^{ - 1}} = {\varphi ^{ - 1}} [/tex]

[tex] Her{\rm{ velger }}vi{\rm{ }}den{\rm{ }}positive{\rm{ }}roten{\rm{ }}siden{\rm{ }}n{\rm{ }}ikke{\rm{ }}kan{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}\min dre{\rm{ }}enn{\rm{ }}0{\rm{ }}pga{\rm{ }}\ln \left( n \right){\rm{ }}i{\rm{ }}den{\rm{ }}{\mathop{\rm int}} egrerte. [/tex]

[tex] Vi{\rm{ }}ser{\rm{ }}at{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {0,{\varphi ^{ - 1}}} \right){\rm{ }}er{\rm{ }}stigningstallet{\rm{ }}positivt{\rm{ }}og{\rm{ }}negativt{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {{\varphi ^{ - 1}}, \to } \right) [/tex]

[tex] N{\aa}{\rm{ }}kan{\rm{ }}vi{\rm{ }}endelig{\rm{ }}se{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}grensene{\rm{ }}til{\rm{ }}funksjonen!{\rm{ }}Vi{\rm{ }}ser{\rm{ }}at{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}stigningstallet{\rm{ }}er{\rm{ }}negativt{\rm{ }}vokser{\rm{ }} [/tex]

[tex] funksjonen{\rm{ }}mot{\rm{ }}uendelig{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x{\rm{ }}g{\aa}r{\rm{ }}mot{\rm{ }}\min us{\rm{ }}uendelig.{\rm{ }}Alts{\aa}{\rm{ }}g{\aa}r{\rm{ }}arealet{\rm{ }}mot{\rm{ }}uendelig. [/tex]

[tex] \int\limits_{ - \infty }^0 {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \infty {\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {0,{\varphi ^{ - 1}}} \right) [/tex]

[tex] S{\aa}{\rm{ }}kan{\rm{ }}vi{\rm{ }}se{\rm{ }}om{\rm{ integralet }}konvergerer{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}stigninstallet{\rm{ }}er{\rm{ }}positivt.{\rm{ }}Alts{\aa}{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {{\varphi ^{ - 1}}, \to } \right) [/tex]

[tex] \int\limits_{ - \infty }^0 {{{\left( {{n^2} + n} \right)}^x} = } {\lim }\limits_{a \to - \infty } \left[ {\frac{{{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}}} \right]_a^0 = \frac{{{n^0}{{\left( {n + 1} \right)}^0}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{n^a}{{\left( {n + 1} \right)}^a}}}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\ln \left( n \right) + \ln \left( {n + 1} \right)}} - 0 = \frac{1}{{\ln \left( {{n^2} + n} \right)}} [/tex]

Altså ser vi endelig at løsningen er

[tex] \underline{\underline {\int\limits_{ - \infty }^0 {{n^x}{{\left( {n + 1} \right)}^x}} dx = \infty {\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {0,{\varphi ^{ - 1}}} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}\frac{1}{{\ln \left( {{n^2} + n} \right)}}{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}n \in \left( {{\varphi ^{ - 1}}, \to } \right)}} [/tex]