deriverte av produkt

[gill]

Hva gjør jeg feil her:

[tex]\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{x+h-x}=\frac{f(x+h)g(x+h)}{h}-\frac{f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)}{h}g(x+h)-\frac{f(x)}{h}g(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)}{h}\lim_{h \to 0}g(x+h)-\lim_{h \to 0}\frac{f(x)}{h}g(x)[/tex]


[tex]\lim_{h \to 0}g(x+h)=g(x)[/tex]



[tex]\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)}{h}\lim_{h \to 0}g(x+h)-\lim_{h \to 0}\frac{f(x)}{h}g(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)}{h}g(x)-\lim_{h \to 0}\frac{f(x)}{h}g(x)=(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{f(x)}{h})g(x)=(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})g(x)=\frac{df}{dx}g(x)[/tex]

Dette er ikke produktregelen. Jeg har sett beviset for produktregelen og vet hvordan det går opp men for meg ser det jo ut som dette går opp selv om det blir feil?

Bevis produktregelen:

http://www.scribd.com/doc/72529242/Bevi ... egelen-PDF

[Vektormannen]

Det du gjør feil her er såvidt jeg kan se at du antar at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(x)g(x)}{h}[/tex]. Dette hadde vært lov dersom grenseverdiene av hvert ledd eksisterte. Men her kan vi jo allerede slå fast at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x)g(x)}{h}[/tex] ikke eksisterer. Da er ikke grensen av summen lik summen av hver grenseverdi!

[Vektormannen]

Hva mener du med h alene? Som sagt starter du feil, for du kan ikke dele opp grenseuttrykket slik du har gjort. Jeg tror det blir vanskelig for deg å gjøre dette beviset på noen annen måte enn ved å benytte de trikset de har brukt i det beviset du linket til.

EDIT: hm, du slettet innlegget ditt?

[gill]

sorry:)

Måtte tenke meg litt om her:)

Jeg tenker at man kan ikke gå inn på hvert ledd i nevneren uten å først bryte leddene og da får man h i nevneren på siste del. Det blir problemet:

[tex]=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{x+h-x}==\lim_{h \to 0}\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{x+h-x}[/tex]

Men dette over blir vel og en liten spansk en siden man bare fjerner en h. (jeg syes forsåvidt dette er litt forvirrende og siden de fjerner en h på slutten av beviset for produktregelen og bruker de andre til å finne de deriverte)

EDIT: Forskjellen fra her og beviset er at i beviset får de til slutt et uttrykk hvor grenseverdien kan brukers på mindre deler av uttrykket separat her har jeg gått og forandret den ene h i f(x+h) men da hadde jeg og måttet forandre h i g(x+h) og h i nevner og jeg hadde sittet igjen med 0 over 0. Hvis man kommer fram til uttrykket av den deriverte som i beviset kan man bruke det i uttrrykket siden den deriverte er og utgreid for polynomer, trigonometriske funksjoner osv. og siden den er utgreid for alle type uttrykk kan man sette inn disse i uttrykket når man bruker produktregelen


Ps: Takk for svar

[Vektormannen]

Jeg har litt vansker med å finne ut om du lurer på noe mer? :p Hva mener du med at de fjerner en h? Hvor skjer dette i beviset?

[gill]

nei litt utydelig forklart kanskje. Har egentlig landet på at det blir feil å prøve på det jeg gjorde. I slutten av beviset skriver de h mot 0 for alle ledd og første grense blir:

[tex]\lim_{h \to 0}u(x+h)=u(x)[/tex]

Dette er det samme som jeg gjorde men dette gjør de samtidig med at de andre h går mot 0. Tror jeg har skjønt det nå takk for at du spør:)

[Vektormannen]

I beviset er det antatt at u (og v) deriverbar. Men husk at hvis en funksjon er deriverbar så må den være kontinuerlig, så da vil [tex]\lim_{h \to 0} \ u(x+h) = u(x)[/tex]. I beviset har de brukt reglene for grenseverdier av sum og produkt, som sier at man kan ta grensen av hvert ledd og hver faktor, så lenge hver av disse grensene eksisterer. Det var det samme du prøvde å gjøre, men som sagt var ikke det gyldig fordi den måten du delte opp på gjorde at et av leddene var en grenseverdi som ikke eksisterte.

[gill]

[tex]=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{x+h-x}==\lim_{h \to 0}\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{x+h-x}[/tex]

Denne grenseverdien finnes skulle jeg tru men jeg tenkte at jeg gikk feil fram fordi jeg fjernet en h men ikke de andre?

[Vektormannen]

Ja, det er det som blir problemet der. Det du egentlig har gjort er å ta grensen av en faktor i et av leddene (nemlig f(x+h)) uten å samtidig ta grenseverdiene av resten av faktorene. Det går ikke.