Integraler og diff. likninger

[*Sorcerer*]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.
1) [tex]\int(x+x^3)\sqrt{1-x^2}\ dx[/tex]

2) Løs initialverdiproblemet [tex]y^, + 3x^2y = x^2\,,\,y(0)=1[/tex]

3) Løs initialverdiproblemet [tex]x^2y^, + 2xy = arctan x\,,\,y(1)=\frac{\pi}{4}[/tex]

4) En kurve er gitt ved
[tex]y = \frac{2x}{1+x^3}\,\,\,\,\,, \,\,x>-1[/tex]

Kurven, x-aksen og linjen x = 1 avgrenser et flatestykke F i 1. kvadrant

a) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om y-aksen

b) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om x-aksen

Dette er fra en oblig som skal leveres senest i morgen. De viktigste er 1), 4b) og 3).

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.
1) [tex]\int(x+x^3)\sqrt{1-x^2}\ dx[/tex]

2) Løs initialverdiproblemet [tex]y^, + 3x^2y = x^2[/tex]

3) Løs initialverdiproblemet [tex]x^2y^, + 2xy = arctan x[/tex]

4) En kurve er gitt ved
[tex]y = \frac{2x}{1+x^3}\,\,\,\,\,, \,\,x>-1[/tex]

Kurven, x-aksen og linjen x = 1 avgrenser et flatestykke F i 1. kvadrant

a) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om y-aksen

b) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om x-aksen

Dette er fra en oblig som skal leveres senest i morgen. De viktigste er 1), 4b) og 3).

------------------------------------------------------------------------------


3)

se linken

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=9562

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.

2) Løs initialverdiproblemet [tex]y^, + 3x^2y = x^2[/tex]
Dette er fra en oblig.

-----------------------------------------------------------------------------------

[tex]y `\;+\;3x^2y\;-\;x^2\;=\;0[/tex]


[tex]{dy\over dx} \;+\;x^2(3y\;-\;1)\;=\;0[/tex]

[tex]\int {dy\over 3y-1}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]-\int x^2dx[/tex]

[tex]ln|3y-1|\;=\;-x^3+C[/tex]

[tex]e^{ln|3y-1|}\;=\;e^{-x^3+C}[/tex]

[tex]3y-1\;=\;Ce^{-x^3}[/tex]

[tex]y\;=\;[/tex][tex]1\over 3[/tex][tex](Ce^{-x^3}+1)[/tex]

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.
4) En kurve er gitt ved
[tex]y = \frac{2x}{1+x^3}\,\,\,\,\,, \,\,x>-1[/tex]

Kurven, x-aksen og linjen x = 1 avgrenser et flatestykke F i 1. kvadrant
b) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om x-aksen
.

-------------------------------------------------------------


4b)

[tex]V\;=\;[/tex][tex]\pi \int_0^1 {y^2}dx[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]\pi \int_0^1 {{(4x)^2}\over (1+x^3)^2}{dx}[/tex]

u = 1 + x[sup]3[/sup]

[tex]4du\over 3[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]4x^2dx[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} \int_1^2 {1\over (1+u)^2}{du}[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} [{-1\over (u+1)}]_1^2[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]2\pi \over 9[/tex][tex]\;\approx \;0.7[/tex]

[*Sorcerer*]

Takk for hjelpen Janhaa

Jeg glemte visst initialbetingelsene, men de er der nå.

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.
4) En kurve er gitt ved
[tex]y = \frac{2x}{1+x^3}\,\,\,\,\,, \,\,x>-1[/tex]

Kurven, x-aksen og linjen x = 1 avgrenser et flatestykke F i 1. kvadrant
b) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om x-aksen
.

-------------------------------------------------------------
EDIT:

4b)

[tex]V\;=\;[/tex][tex]\pi \int_0^1 {y^2}dx[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]\pi \int_0^1 {{(4x)^2}\over (1+x^3)^2}{dx}[/tex]

u = 1 + x[sup]3[/sup]

[tex]4du\over 3[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]4x^2dx[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} \int_1^2 {1\over (u)^2}{du}[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} [{-1\over u}]_1^2[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]2\pi \over 3[/tex][tex]\;\approx \;2.1[/tex]

[Janhaa]

1)

[tex]{I\;=\;}\int (x^3+x) sqrt{1-x^2}dx[/tex]

sett u = 1 - x[sup]2[/sup]

x[sup]2[/sup] = 1 - u


[tex]{-du\over 2}\;=\;xdx[/tex]

x[sup]3[/sup] + x = x(x[sup]2[/sup] + 1) = x(2 - u)

[tex]{I\;=\;}{-1\over 2}\int (2-u) sqrt{u}du[/tex]

[tex]{I\;=\;}{-1\over 2}\int (2u^{1\over 2}-u^{3\over 2})du[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{u^{5\over 2}\over 5}-{2u^{3\over 2}\over 3}[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{(1-x^2)^{5\over 2}\over 5}\;-\;{2(1-x^2)^{3\over 2}\over 3}\;+\;C[/tex]

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.

2) Løs initialverdiproblemet [tex]y^, + 3x^2y = x^2[/tex]
Dette er fra en oblig.

-----------------------------------------------------------------------------------

[tex]y `\;+\;3x^2y\;-\;x^2\;=\;0[/tex]


[tex]{dy\over dx} \;+\;x^2(3y\;-\;1)\;=\;0[/tex]

[tex]\int {dy\over 3y-1}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]-\int x^2dx[/tex]

[tex]ln|3y-1|\;=\;-x^3+C[/tex]

[tex]e^{ln|3y-1|}\;=\;e^{-x^3+C}[/tex]

[tex]3y-1\;=\;Ce^{-x^3}[/tex]

[tex]y\;=\;[/tex][tex]1\over 3[/tex][tex](Ce^{-x^3}+1)[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------


y(0) = 1

c + 1 = 3, og c = 2

som da gir:

[tex]y\;=\;[/tex][tex]{(2e^{-x^3}+1)}\over 3[/tex]

[Janhaa]

Jeg har noen oppgaver som jeg har prøvd på, noen har jeg ikke fått til, andre er jeg litt usikker på om jeg har løst riktig.
4) En kurve er gitt ved
[tex]y = \frac{2x}{1+x^3}\,\,\,\,\,, \,\,x>-1[/tex]
Kurven, x-aksen og linjen x = 1 avgrenser et flatestykke F i 1. kvadrant
a) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer 360º om y-aksen.

--------------------------------------------------------------------------------------
4a)

[tex]V_{y}\;=\;[/tex][tex]2\pi\int_0^1 {xydx}\;=\;[/tex][tex]4\pi \int_0^1{x^2\over 1+x^3}dx[/tex]

sett u = 1 + x[sup]3[/sup] og [tex]\;{du\over 3}\;=\;[/tex][tex]x^2dx[/tex]


[tex]V_{y}\;=\;[/tex][tex]{4\pi \over 3}\int_1^2 {du\over u}\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} [{ln(u)}]_1^2[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]{4\pi\over 3} {ln(2)}\;\approx \;2.9[/tex]