MAT 1015



Del 1

Oppgave 1

a)

Finn median:

Sorterer observasjonene: $1_{(1)} \;\; 1_{(2)} \;\; 1_{(3)} \;\; 2_{(4)} \;\; 2_{(5)} \;\; 3_{(6)} \;\; 3_{(7)} \;\; 4_{(8)} \;\; 5_{(9)} \;\; 5_{(10)}$

Finner antall observasjoner: $N = 10$

Finner midtpunktet: ${N + 1 \over 2} = {10 + 1 \over 2} = 5.5$

Fordi det er et partall antall observasjoner er medianen lik gjennomsnittet av de to verdiene som ligger på hver sin side av midtpunktet

Medianen er gjennomsnittet av verdiene nummer 5 og 6. ${2 + 3 \over 2 }= 2.5$

Finner gjennomsnitt:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S=1+5+3+3+5+2+1+4+1+2=27$

Finner antall observasjoner: $N=10$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {27 \over 10} = 2.7$

Finn typetall:

Teller opp verdiene og lager en frekvenstabell:

Verdi $x$Frekvens $f$
$1$$3$
$2$$2$
$3$$2$
$4$$1$
$5$$2$

Ser i tabellen og finner de hyppigst forekommende verdiene

Typetall(ene) er: 1

b)

Verdi x Frekvens f Kumulativ frekvens
1 3 3
2 2 3+2 = 5
3 2 5+2 = 7
4 1 7+1 = 8
5 2 8 + 2 = 10

Oppgave 2

$0,075 \cdot 2000000 = (7,5 \cdot 10^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^6) = 7,5 \cdot 2 \cdot 10^{-2+6} = 15 \cdot 10^{4} = 1,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{4} =1,5 \cdot 10^{5}$

Oppgave 3

A: $\displaystyle \frac{15 \cdot 5^{-1}}{2^2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5^{-1}}{2^2} = \frac{3}{4} $

B: $\displaystyle \frac{1}{6^{-2}\cdot 3 \cdot 15} = \frac{6^2}{ 3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{36}{ 9 \cdot 5} = \frac{36}{ 9} \cdot \frac{1}{5} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Fordi $ \displaystyle \frac{4}{5} > \frac{3}{4}$ har brøken B størst verdi.

Oppgave 4

a)

Tilbud 1: $y = 5x + 100$

Tilbud 2: $y = 10x + 50$

b)

Ettersom dette er del 1 av eksamen, må denne grafen skisseres for hånd, men jeg bruker her Graph

2Pvar2013del1oppg4.png

Ser av grafen at det lønner seg for Sigvald med tilbud 1 dersom han vasker opp mindre enn 10 ganger i uka. Vi vet ikke hvor ofte de vasker opp i familien, men hvis de for eksempel vasker opp en gang om dagen, så lønner det seg for Sigvald med Tilbud 1.

Oppgave 5

Plassverdisystem med grunntall 10 Plassverdisystem med grunntall 2
$43$ $101011_2$
$26$ $11010_2$


Konverterer $101011_{(2)}$ til 10-tallsystemet:

${{\color{red}{1}\cdot 2^{5}+\color{red}{0}\cdot 2^{4}+\color{red}{1}\cdot 2^{3}+\color{red}{0}\cdot 2^{2}+\color{red}{1}\cdot 2^{1}+\color{red}{1}\cdot 2^{0}} = \\{32+0+8+0+2+1}} = {\color{red}{ \underline{ \underline{43_{(10)} } } }}$

Konverterer $26_{(10)}$ til 2-tallsystemet:

${26_{(10) } } = {16+8+0+2+0}= {{\color{red}{1}\cdot 2^{4}+\color{red}{1}\cdot 2^{3}+\color{red}{0}\cdot 2^{2}+\color{red}{1}\cdot 2^{1}+\color{red}{0}\cdot 2^{0}}} = {\color{red}{ \underline{ \underline{11010_{(2)} } } }}$

Oppgave 6

a)

$f(x) = 100 000 \cdot 0,9^x$

b)

Graf C tillhører funksjonen f(x).

Vi ser at graf A må være feil fordier en rett linje, men $f(x)$ er en eksponensialfunksjon.

Graf C synker raskest i starten, men etterhvert som bilen blir billigere så går den mindre ned i verdi hvert år. Prisen synker med 10% hvert år, og det blir 10% av et mindre og mindre beløp.

Oppgave 7

Inntekt (i 1000 kroner) Klassemidtpunkt $x_m$ Antall personer$f$ Klassesum $f \cdot x_m$
$[300 , 400\rangle $ $350$ $20$ $7000$
$[400 , 500\rangle $ $450$ $20$ $9000$
$[500 , 700\rangle $ $600$ $10$ $6000$
$N=50$ $S=22000$

Gjennomsnittet er omtrent: $ g = \frac{S}{N} = {\frac{22000}{ 50}} = {440}$ tusen kroner

Oppgave 8

a)

En firkant kan deles i to trekanter.

Em femkant kan deles i tre trekanter.

En sekskant kan deles i fire trekanter.

En n-kant kan deles i (n-2) trekanter. Vinkelsummen i en n-kant blir $(n-2)180^{\circ}$

Vinkelsummen av en firkant blir da: $(4-2)180^{\circ} = 360^{\circ}$

Vinkelsummen av en femkant blir da: $(5-2)180^{\circ} = 540^{\circ}$

b)

Vinkelsummen av en sekskant blir da: $(6-2)180^{\circ} = 720^{\circ}$

Vinkelsummen av en åttekant blir da: $(8-2)180^{\circ} = 1080^{\circ}$

c)

$1800^{\circ} = (n-2) 180^{\circ} \\ 10 = n-2 \\ n=12$

Det er en tolvkant.

Del 2

Oppgave 1

a)

Bruker Excel for å tegne sektordiagrammet..

2Pvar2013del2oppg1a.png

b)

Bruker Excel for å tegne stolpediagrammet..

2Pvar2013del2oppg1b.png

Oppgave 2

a)

Finner stigningstallet (pris per kilometer)

${{625 - 500} \over {150 -100}} = 2.5 \text{kr/km}$

Fordi det koster 2.5 kr/km og vi må betale prisen for å kjøre 100 km pluss prisen for å kjøre 200 km lenger.

$500kr + 2.5km \cdot 200 kr/km = 1000 kr$

Det koster 1000kr å kjøre 300 km.

b)

Bruker Graph. Funksjonen "Sett inn punktliste" og "Finn trendlinje".

Den lineære funksjonen som passer er $y = 2.5x + 250$

c)

I denne oppgaven så er $a$ prisen familien må betale per kilometer de kjører.

$b$ er den faste prisen de må betale uansett hvor langt de kjører for å få lov til å leie bilen.

Oppgave 3

a)

Dag 1: To personer får mail $\rightarrow 2 = 2^1$

Dag 2: Fire personer får mail $\rightarrow 4 = 2^2$

Dag 3: Åtte personer får mail $\rightarrow 8 = 2^3$

Dag n: $\rightarrow 2^n$ personer får mail.

6.januar er dag seks. $2^6 = 64$ personer får mail.

b)

Denne oppgaven kan man løse grafisk ved hjelp av digitale verktøy, eller man kan prøve seg fram. Den 30. januar (dag 30) passerer man en milliard (1 000 000 000 ).

Oppgave 4

a)

Vinnertid 1968: 123.4

Vinnertid 2010:105,57

$\frac{105,57}{123,4} = 0.86$

$1 - 0.86 = 0.14$

Vinnertiden sank med 14% fra 1968 til 2010.

b)

Bruker 2P-kalkulatoren. Funksjon: Verdiliste => Gjennomsnitt.

Gjennomsnitt1968: 125.06 sekunder

Gjennomsnitt 2010: 106.36 sekunder


Utregning for gjennomsnitt 1968 (ikke nødvendig å vise for å få full uttelling på oppgaven):

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 123.4 + 125 + 125 + 125.1 + 125.2 + 125.2 + 125.5 + 126.1 = 1\space 000.5$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {1\space 000.5 \over 8} = 125.06$

Utregning for gjennomsnitt 2010 (ikke nødvendig å vise for å få full uttelling på oppgaven):

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 105.57 + 106.1 + 106.13 + 106.42 + 106.47 + 106.69 + 106.76 + 106.77 = 850.91$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {850.91 \over 8} = 106.36$

c)

Bruker 2P-kalkulatoren. Funksjon: Verdiliste => Standardavvik.

Standardavvik 1968: 0.714 sekunder

Standardavvik 2010: 0.387 sekunder

Årsaken til at standardavviket er større i 1968 enn i 2010 er at det er større forskjell mellom de beste og de dårligste i 1968 enn i 2010. Det er er jevnere og høyere nivå i 2010. Det er spesielt 2 løpere som skiller seg ut i 1968: Kees Verkerk og Eduard Matusevitsj. Verkerk er mye bedre enn de andre, og Matusevitsj er mye dårligere enn de andre. Hvis vi fjerner disse to fra resultatlista, så vil forskjellen i standardavviket bli en del mindre.

Utregning for standardavvik 1968 (ikke nødvendig å vise): Finner først gjennomsnittet:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 123.4 + 125 + 125 + 125.1 + 125.2 + 125.2 + 125.5 + 126.1 = 1\space 000.5$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {1\space 000.5 \over 8} = 125.06$

Bruker gjennomsnittet for å regne ut variansen:

Verdi $x$ $(x-g)^2$
$123.4$ $(123.4-125.06)^2 = (-1.66)^2 = 2.76$
$125$ $(125-125.06)^2 = (-0.06)^2 = 0.00391$
$125$ $(125-125.06)^2 = (-0.06)^2 = 0.00391$
$125.1$ $(125.1-125.06)^2 = 0.0375^2 = 0.00141$
$125.2$ $(125.2-125.06)^2 = 0.137^2 = 0.0189$
$125.2$ $(125.2-125.06)^2 = 0.137^2 = 0.0189$
$125.5$ $(125.5-125.06)^2 = 0.437^2 = 0.191$
$126.1$ $(126.1-125.06)^2 = 1.04^2 = 1.08$
$A= 4.08$

Variansen er: $ \frac{A}{ N}=\frac{4.08}{ 8}=0.51$ Bruker variansen for å regne ut standardavvik

Standardavviket er: $ \sqrt{\text{Variansen}} = \sqrt{0.51} = 0.714$

Utregning for standardavvik 2010 (ikke nødvendig å vise):

Finner først gjennomsnittet:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 105.57 + 106.1 + 106.13 + 106.42 + 106.47 + 106.69 + 106.76 + 106.77 = 850.91$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {850.91 \over 8} = 106.36$

Bruker gjennomsnittet for å regne ut variansen

Verdi $x$ $(x-g)^2$
$105.57$ $(105.57-106.36)^2 = (-0.79)^2 = 0.63$
$106.1$ $(106.1-106.36)^2 = (-0.26)^2 = 0.0696$
$106.13$ $(106.13-106.36)^2 = (-0.23)^2 = 0.0546$
$106.42$ $(106.42-106.36)^2 = 0.0563^2 = 0.00316$
$106.47$ $(106.47-106.36)^2 = 0.106^2 = 0.0113$
$106.69$ $(106.69-106.36)^2 = 0.326^2 = 0.106$
$106.76$ $(106.76-106.36)^2 = 0.396^2 = 0.157$
$106.77$ $(106.77-106.36)^2 = 0.406^2 = 0.165$
$A= 1.2$

Variansen er: $ \frac{A}{ N}=\frac{1.2}{ 8}=0.15$

Bruker variansen for å regne ut standardavvik

Standardavviket er: $ \sqrt{\text{Variansen}} = \sqrt{0.15} = 0.387$

Oppgave 5

a)

Bruker programmet Graph Bruker funksjonen: "Sett inn punktliste".

2Pvar2013del2oppg5a.png

b)

Bruker funksjonen: "Sett inn trendlinje" => Lineær.

Finner at funksjonen $f(x) = - 2.9 x + 102$ passer med punktene fra oppgave a.


2Pvar2013del2oppg5b.png

c)

Bruker funksjonen: Sett inn funksjon y=38. Beregn => "lås til skjæringspunkt"

Ser at dorullen er tom når man har brukt 21.6 meter. Dorullen inneholder altså 21.6 meter papir.

2Pvar2013del2oppg5c.png


d)

$160 \text{ark.} \cdot 14 \text{cm} =160 \cdot 0.14 m = 22.4 \text{meter}$

Modellen sier at det er 21.6 meter på rullen. Det som står på pakken og modellen stemmer altså godt.

Oppgave 6

a)

I en lineær modell synker verdien med et fast beløp hvert år. I oppgaven står det at det årlige verditapet er 25780 kr dermed er det en lineær modell. For å kontrollere kan vi se at fra 2006 til 2011 er det 5 år. $25780 kr \cdot 5 = 128900 kr$ som er oppgitt som det totale verditapet.

Modellen er: $f(x) = 299990 - 25780x$

b)

Løsningsalternativ 1

Forsøker meg fram på kalkulatoren for å finne det årlige verditapet. Vet at prisen etter 5 år er $299990 \cdot k^5$ og forsøker med forskjellige verdier for k.

$299990 \cdot 0.88^5 = 158314 kr$

$299990 \cdot 0.89^5 = 167516 kr$

$299990 \cdot 0.90^5 = 177141 kr$

Ser at vekstfaktoren som passer best er mellom 0.89 og 0.90. Bruker 0.89. Da er den prosentvise nedgangen på $1 - 0.89 = 0.11 = 11\%$

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.89^x$

Løsningsalternativ 2 Bruker Graph, og setter inn de to kjente punktene, og bruker så funksjonen "sett inn trendlinje" for å finne en eksponentialfunksjon som passer til observasjonene.

2Pvar2013del2oppg6b.png

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.893^x$


Løsningsalternativ 3

$299990 \cdot x^5 = 171000$

$x^5 = {171000 \over 299990 }$

$x^5 = 0.57$

$x = \sqrt[5]{0.57}=0.893$

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.893^x$


c)

Den lineære modellen: $f(7) = 299990 - 25780 \cdot 7 = 119530 kr$

Den eksponentielle modellen: $f(7) = 299990 \cdot 0.89^7 = 132689.58 kr$