Se også vår side om Derivasjon


Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.

Innhold

Potenser og polynomer

TYPE FUNKSJON DERIVERT EKSEMPEL
Potensen
Bevis for potens derivasjon
f(x) = xn f '(x) = nxn-1 $(x^3)' = 3x^2$
Konstant multiplisert
med funksjon
c f(x) [c f(x)]' = c f '(x) $(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$
Konstant f(x)= C C' = 0 (5)' = 0
Polynom f(x) = g(x)+ h(x) +... f '(x) = g'(x) + h'(x) +... $(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2$
Kvadratrot f(x)=$\sqrt{x}$ f ' (x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Nte'rot f(x)=$\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}$ Se type: potenser

Logaritme og eksonentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen ax

$\\$

Bevis for derivasjon av $a^x$
f (x) = ax f '(x) = axln a
Eksponentialfunksjonen ex

$\\$

Bevis for derivasjon av $e^x$
f (x) = ex f '(x) = ex
Logaritme funksjonen
Logaritme uansett base $y = log_bx$
Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base
f(x) = ln |x|
$f(x) = log_b|x|$
f ' (x)=$\frac{1}{x}$
$f'(x) = \frac{1}{x \cdot ln(b)}$

Trigonometriske funksjoner

Sinus
Bevis -derivasjon sinus
f(x) = sin x f'(x) = cos x
Cosinus f(x) = cos x f'(x) = -sin x
Tangens
Bevis for derivasjon av tan(x)
f (x) = tan x $f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}
$

eller

$f ' (x)= 1 + tan^2x$

Produkt, kvotient og kjerne

Produkt
Bevis for derivasjon av produkt
Eksempel
Se video [1]
f(x)$\cdot$ g(x) $[f(x)\cdot g(x)]'= f '(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g '(x)$ $(4x^3cos(x))' \\ = 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))$
Kvotient
 Kvotient regel derivasjon-bevis
f (x)=$\frac{g(x)}{h(x)}$ f ' (x)=$\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}$ $( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}$
Kjerneregel y = g(u)
u er en funksjon av x
y ' = g ' (u)∙u' $(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)$