Innhold

Punkt

Et punkt markeres med et kryss. Punktet P kan markeres slik:

Punkt 1.png

Linjer

Linjen m har uendelig utstrekning, den fortsetter i begge retninger. Linjestykket AB ligger på linjen n. Linjen n er uendelig lang, men linjestykket AB har en målbar lengde. Linjen o er uendelig lang, det er også linjestrålen som slutter i C.

Dette kan markeres slik:

Linjer 1.png


Parallelle Linjer

Dersom linjen l er parallell med linjen m betyr det at disse to linjene aldri vil krysse hverandre. Vi skriver det slik:

m || n

Linjene kan se slik ut:

Paralinjer 1.png


Dersom linjene er parallelle betyr det at avstanden mellom dem er den samme hele veien. Det betyr at avstanden b1 er den samme som b2.

Vinkler

Rette linjer som ikke er parallelle vil før eller siden krysse hverandre (i planet). Da vil de danne en vinkel. Symbolet for en vinkel er$\angle$ . Dette tegnet må ikke forveksles med < som betyr "mindre enn". Vinkelen ABC kan skrives slik: ABC, eller noen ganger bare som B. Vinkelen kan se slik ut:

Vink 1.png


En vinkel består av to vinkelbein og et toppunkt. Toppunktet er der hvor vinkelbeina møtes (eller krysser hverandre). AB og BC er vinkelbein og B er toppunktet. I denne figuren kunne vi kalt vinkelen for B, men vi skal senere se at vi av og til må kalle vinklene med vinkelbein, altså ABC, for å unngå missforståelser.


Lengde måles i meter og tid i sekunder eller timer. Vinkler måles i grader. Dette har ingen ting med temperatur å gjøre, men symbolet vi bruker er det samme. 30 grader skrives 30º. En sirkel måler 360°. Gradeskiven din (også kalt transportør) kan du bruke når du tegner eller måler vinkler. Den går vanligvis opp til 180°.

Det er forskjellige navn på forskjellige typer vinkler. Vi skal se på disse.

Definisjoner:

Vinkler 1.png



1: Rett vinkel, er en vinkel som er 90°. Kalles også for 90 graders vinkel.

2: Spiss vinkel, er en vinkel som er mindre enn 90º.

3: Stomp vinkel, er en vinkel som er større enn 90º.


Nabovinkler

Summen av to nabovinkler er 180º

Nabovink 1.png

Toppvinkler

Når to linjer krysser hverandre dannes det fire vinkler som parvis er like store.

Toppvink 1.png



Samsvarende vinkler

Vinkler som har forskjellig toppunkt, men et vinkelbein felles, kalles samsvarende vinkler.

Samsvar.png

Dersom man vet, eller kan vise at linjen l er parallell med linjen m er vinkel a lik vinkel b, vinkel c lik vinkel d, osv.

Speiling & symmetri

Speiling om en Linje

Når du betrakter deg selv i speilet vil du se følgende: Dersom du beveger deg mot speilet, vil speilbildet bevege seg mot deg. Dersom du rygger vil speilbildet trekke seg tilbake. Tenk deg at vi kunne observere dette fra siden, da ville vi ha ditt hode og speilbildet i profil, og speilet ville bare være en strek (fordi vi ser det fra siden). Dette kan se noe slik ut:

Speil 1.png


Når vi i matematikken skal speile noe om en akse eller linje gjør vi følgende: Vi trekker linjer fra punkt på det objekt som skal speiles. Disse linjene skal stå normalt på linjen man speiler om. Mål avstanden fra punktet på objektet til speilingslinjen. Denne avstanden Legger du så til på andre siden av speilingslinjen. Der merker du av punktet som blir et punkt på speilbildet. Dersom vi har en figur med et punkt A, kaller vi tilsvarende punkt på speilbildet for A'. Dette kan foreksempel se slik ut:

Speil 2.png


Legg merke till at avstanden fra Ø til speil er lik avstanden fra speil til Ø', avstanden fra N til speil er lik avstanden fra speil til N', osv.

Om vi starter med situasjonen til venstre

Speil 4.png

blir resultatet av speilingen situasjonen til høyre. Dersom figuren vi skal speile ligger delvis over speilingslinjen kan det se slik ut:

Speil 5.png


speiling om linje

Symmetriakser

Noen eksempler på symmetriakser er vist nedenfor. Vi observerer at forskjellige former har forskjellig antall symmetriakser.

Sym 1.png


Dersom vi bretter disse figurene langs en symmetriakse, de røde strekene, ser vi at delene på hver side av aksen vil overlappe hverandre fullstendig.

Speiling om et Punkt

Når vi speiler om et punkt trekker vi linjer fra objektet som skal speiles, gjennom punktet. Avstanden fra objektet til punktet er lik avstanden fra punktet til speilbildet.

Eks:

Speilpunkt 1.png


speiling om punkt

Kongruente Former

Geometriske figurer som dekker hverandre helt når vi legger den oppå hverandre kalles for kongruente. Det kan tenkes at vi må rotere figurene for at de skal dekke hverandre.

Kongr 1.png


Dersom figur B roteres 90º med klokka, ser vi at figur A og B dekker hverandre helt. A og B er kongruente figurer.

Trekanter

En trekant har tre vinkler og tre sidekanter.

Trekant.png

Vinkelsummen i en trekant er 180° A + B + C = 180°


Arealet av en trekant er:

$Areal = \frac{Gh}{2}$



Der G er grunnlinja og h er høyden av trekanten.

Figuren under viser hvorfor formelen for arealet er slik.

Trekant2.png

Rettvinklet Trekant

En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Begge katetene vil alltid utgjøre vinkelbeina i den rette vinkelen. Hypotenusen vil alltid være den lengste siden i trekanten.

Rettvinklet.png

En rett vinkel er 90 grader og markeres som vist i A.

Arealet av en rettvinklet trekant er katet ganger katet delt på to. Fordi det ene katetet gir høyden i trekanten, og det andre grunnlinjen. Det er selvsagt mulig å bruke hypotenusen som grunnlinjen, men det vil ogfe føre til noe mer komplisert regning fordi man da må finne høyden fra hypotenusen til motstående vinlel.

Likebeint Trekant

Dersom to av sidene i en trekant er like lange er trekanten likebeint. "Pinnene" på sidene AC og BC markere at disse sidene er like lange. Når to sider i en trekant er like lange medfører det at to vinkler er like store. I dette eksempelet er vinkel A og vinkel B like store.

Likebeint.png

Likesidet Trekant

I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene er 60°

Likesidet.png

Pythagoras

Pythagoras setning kan i hovedsak brukes til tre ting;

1. finne lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant

2. finne lengden av et katet i en rettvinklet trekant

3. finne ut om en trekant er rettvinklet

I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik summen av arealet til kvadratene på katetene.

Pyt.png


$c^2 = a^2 + b^2$

Setningen gjelder kun for rettvinklede trekanter.






Eksempel 1: (hypotenus og et katet kjent)

Pyt31.png

Hva er lengden av AC?

$(AB)^2 +(AC)^2 = (BC)^2 \\(5cm)^2 + (AC)^2 = (10cm)^2 \\25cm^2 + (AC)^2 = 100cm^2 \\AC = \sqrt {75cm^2} = 8,7 cm$






Eksempel 2: (begge kateter kjent)

Pyt32-.png

Hva er lengden av BC?

$(AB)^2 +(AC)^2 = (BC)^2 \\(3cm)^2 + (4cm)^2 = (BC)^2 \\9cm^2 + 16cm^2 = (BC)^2 \\BC = \sqrt {25cm^2} = 5 cm$


I en rettvinklet trekant der vinklene er 30° ,60° og 90° vil alltid hypotenusen være dobbelt så lang som det korteste katetet. Det korteste katetet vil alltid være det motstående til vinkelen på 30°. Dette medfører blant annet at vi er i stand til å finne to sider i en rettvinklet trekant, når betingelsene er som over og vi kjenner en side.


Eksempel 3:(spesialtilfelle)

Pyt33.png

Finn AC og BC.

Siden vi har 30°,60° og 90° i trekanten vet vi at BC = 2 AC. La oss sette AC = x

$(AB)^2 +(AC)^2 = (BC)^2 \\(8cm)^2 + x^2 = (2x)^2 \\64cm^2 + x^2 = 4x^2 \\3x^2 = 64cm^2\\x^2 = 21,3cm^2\\x=4,6cm$

AC = 4,6 cm og BC = 9,2 cm.

Man kan bruke Pytagoras til å sjekke om en gitt trekant er rettvinklet. Man sjekker om kvadratet utspendt av den lengste siden er lik summen av kvadratene utspendt av de to korteste.

Eksempel 4:(spesialtilfelle)

I en trekant er siden 3 meter, 4 meter og 5,5 meter. Er trekanten rettvinklet?

LØSNING:

Dersom trekanten er rettvinklet må den lengste siden være hypotenusen. Det betyr at $3^2 + 4^2 = 25$ må være lik $5,5^2$ . Det er ikke tilfellet, derfor er trekanten ikke rettvinklet.


Test deg selv

Firkanter

Kvadrat

Et kvadrat er en firkant hvor alle sidene er like lange og alle vinklene er 90°. Diagonalene er markert med røde linjer. En diagonal er en rett linje som går fra et hjørne i firkanten til motstående hjørne. Et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel.

Kvadrat 1.png

Arealet av kvadratet er:

$A = a \cdot a = a^2$

Omkretsen av kvadratet er:

$O = a + a + a + a = 4a.$

Test deg selv

Rektangel

Rektangel 1.png


Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange. Vinklene er 90°.


Arealet av rektangelet er: A = ab
Omkretsen er: O = a + a + b + b = 2a + 2b.





Test deg selv

Parallellogram

Parallellogram 1.png


Et parallellogram er en firkant hvor sidene er parvis parallelle.

Areal:

A = ah

Omkrets

O = 2(a+b)

Rombe

Rombe 1.png


En rombe er en firkant der alle sidene er like lange og parvis parallelle. En rombe er et spesialtilfelle av et parallellogram.

Areal:

A = ah

Omkrets:

Da alle sidene er like lange er

a = b = c = d

Da blir

O = 4a

Test deg selv

Trapes

Trapes 1.png



I et trapes er to av sidene parallelle, men ikke like lange.

Areal:

$A= \frac{h \cdot (AB+CD)}{2}$


Omkrets:

O = AB + BC + CD + DA




Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside