Innhold

Innledning

1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.

Eksempel 1


$1000 = 10\cdot 10\cdot10 = 10^3$

En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet er 10 og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.


Eksempel 2


Tall 100000 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Potens $10^5$ $10^4$ $10^3$ $10^2$ $10^1$ $10^0$ $10^ {-1}$ $10^{-2}$ $10^{-3}$

Potensene er alle tierpotenser, fordi grunntallet er 10. Eksponenten varierer fra 5 til -3.




Eksempel 3
$3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729$

$a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

$10^9 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 000 000 000$


Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.

Regneregler for potenser uten brøkesponent

Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.

Multiplikasjon av potenser

Dersom man skal multiplisere $4^3$ med $4^4$ får man;$4^3\cdot 4^4= 4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4 = 4^{3+4}$

Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:


$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$


Eksempel 4

$a^3 \cdot a^2=a^{3+2} = a^5$


Test deg selv

Divisjon av potenser

Den generelle regel for potensdivisjon er:

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$


Eksempel 5

$\frac{a^3}{a^2} =a^{3-2} = a^1 =a$



Test deg selv

Potens av potenser

$(a^n)^m = a^{n\cdot m}$


Eksempel 6


$(a^3)^2=a^{3 \cdot 2}= a^6$



Test deg selv

Tall i nulte

Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.


$a^0=1$


Eksempel 7


$\frac{x^5 \cdot x^2}{x^7} = x^{5+2-7}=x^0=1$


Test deg selv

Negativ eksponent

$a^{-n}= \frac{1}{a^n}$


Eksempel 8


$2^{-3}= \frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}$



Test deg selv

Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall

$\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$


Eksempel 9


$\frac{2^5}{7^5} = (\frac{2}{7})^5$



Test deg selv

Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall

$a^m \cdot b^m = (ab)^m$


Eksempel 10


$3^5 \cdot x^5 = (3x)^5$



Test deg selv

Sammensatte problemer

Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:

Eksempel 11


$\frac{(3^5)^{-2} \cdot 3^{4}}{9^{-1}} = \frac{3^{-10} \cdot 3^{4}}{3^{-2}} = 3^{-10+4-(-2)} = 3^{-4}= \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$


Eksempel 12

$\frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9} = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9} = a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b}$




Test deg selv