Forskjell mellom versjoner av «1T 2017 vår LØSNING»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
Linje 236: Linje 236:
 
Arealet av det grå (blå) feltet er arealet av kvartsirkelen minus arealene av de to halvsirklene.
 
Arealet av det grå (blå) feltet er arealet av kvartsirkelen minus arealene av de to halvsirklene.
  
$A = \frac{}{} - \frac{}{} -\frac{}{}$
+
$A = \frac{\pi(2R)^2}{4} - \frac{\pi R^2}{2} -\frac{\pi( \frac{2R}{3})^2}{2} \\ A = \pi R^2- \frac{9 \pi R^2}{18} - \frac{4 \pi R^2}{18} \\ A = \frac{5 \pi R^2}{18}$

Revisjonen fra 23. jun. 2017 kl. 19:34

Denne oppgaven som PDF

diskusjon av denne oppgaven

Løsning laget av mattepratbruker Lektor Nilsen

Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas

Løsning laget av mattepratbruker rekel

Løsning laget av mattepratbruker mattemarkus


DEL EN

Oppgave 1

$\frac{0,72 \cdot 10^8}{60 \cdot 10^{-8}} = \frac{72 \cdot 10^6}{6 \cdot 10^{-7}} = 12 \cdot 10^{6+7} = 1,2 \cdot 10^{14}$

Oppgave 2

$4^0 + 2^{-3} \cdot (2^3)^2 = 1+ 2^3 = 9$

Oppgave 3

$\sqrt{20} + \sqrt 5 - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt 2}= 2 \sqrt 5 +\sqrt 5 - \frac{\sqrt4 \cdot \sqrt4 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 5}{\sqrt 2} \\ 2 \sqrt 5 + \sqrt5 - 4 \sqrt 5 = - \sqrt 5$

Oppgave 4

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2= 4 \\ x+2 = y \end{align*}\right] </math>

Setter inn uttrykket for y i første ligning:

$x^2 + (x+2)^2 = 4 \\ x^2 + x^2 +4x +4 = 4 \\2x(x+2)=0 \\ x= 0 \vee x=-2$

Setter inn for x i en av ligningene og får følgende to løsningssett: (0, 2) eller (-2, 0)

Oppgave 5

$lg(x^2 + \frac 34) = 0 \\ 10^{lg(x^2 + \frac 34)} 10^0 \\ x^2 + \frac 34 =1 \\ x = \pm \frac 12$

Oppgave 6

$ \frac{1}{x} + \frac {x-5}{x-1}- \frac{2x-6}{x^2-x} = \\ \frac {}{}\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac {x(x+5)}{x(x-1)} - \frac{2x-6}{x(x-1)} = \\ \frac {x-1+x(x-5) -2x +6}{x(x-1} = \\ \frac{x^2-6x+5}{x(x-1)}= \\ \frac {(x-1)(x-5)}{x(x-1)} = \\ \frac{x-5}{x} $

Oppgave 7

a)

Papir ikke papir Total
Nett 32 48 80
Ikke nett 18 2 20
Total 50 50 100

b)

Både nett og papir:

P ( nett $\cap$ papir) = 32% (leser direkte fra tabell).

c)

Sannsynlighet for ikke papir, gitt nett:


P( ikke papir | nett) = $\frac{P( nett \quad \cap \quad ikke papir)}{P( nett)} = \frac{48}{80} = 0,6$

Oppgave 8

Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. Kaller den for x:

$ x^2 = (x-2)^2+ 20^2 \\ x^2 = x^2-4x+4 + 400\\ 4x= 404 \\ x = 101$

Den lengste siden er 101.

Oppgave 9

a)

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet:

$f(-2)= -8+12+4-3 = 5 \\ f(0)= -3 \\ \frac{f(0) - f(-2)}{2} = \frac{-3-5}{2} = -4$

b)

Momentan vekstfart for f når x = 2.

$f´(x)= 3x^2+ 6x-2 \\ f´(-2) = 12-12--2 = -2$

Oppgave 10

a)

$f(x)>0 \Rightarrow x \in <4, \rightarrow>$

b)

$f´(x) >0 \Rightarrow x \in < \leftarrow,1> \cup <3, \rightarrow>$

Oppgave 11

a)

Nullpunkter:

$ f(x)=0 \\ x^2-4x+3=0 \\ x= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} \\ x = 1 \vee x= 3$

Nullpunkter (1,0) og (3,0).

b)

1T-17-1-10b.png

c)

V finner den x verdi som gir f´(x) = 2. $f´(x) =2 \\ 2x-4 =2 \\ x=3$

Vi vet at f(3) = 0

Likningen for tangenten blir da: $y = ax + b \\ 0 = 2 \cdot 3 + b \\ b = -6$

y= 2x - 6 er likningen for tangenten med stigningstall 2.

1T-17-1-10b-2.png

d)

Se tangent i c. Likningen blir y = -2x + 2, fordi grafen skjærer y aksen i 2 og avtar med 2 for hver enhet mot høyre.

e)

Det eroppgitt at tangenten går gjennom (2, -2). Pga symmetri må den også gå gjennom (1,0).

Den deriverte blir da -2 : y = -2x + b som innsatt for (1, 0) gir b = 2, altså er ligningen for tangenten riktig.

Oppgave 12

a)

Sin (vinkel) = motstående katet delt på hypotenus: $Sin (30^{ \circ}) = \frac 12$

Cos (vinkel) = hossliggende katet delt på hypotenus: $Cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2^2-1^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ (her brukte vi pytagoras for å finne hosliggende katet)


Tan (vinkel) = Sin (vinkel) delt på Cos (vinkel): $ Tan (30^{\circ}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt 3}{3}$

b)

Bruker arealformenlen:

$A = \frac12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(30) = 2$

Arealet av trekanten er 2.


c)

Bruker cosinussetningen:

$(BC)^2 =4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\sqrt3}{2} = 20 - 8 \sqrt3 = 4(5 - 2\sqrt3) \\ BC = \sqrt{4(5 - 2\sqrt3)} = 2 \sqrt{5-2\sqrt3}$


DEL TO

Oppgave1

a)

1T-17-2-1a.png

Oppgave 2

Barn koster x, voksen koster (x + 40):

$2(x + 40 )+ 3x = 520 \\ 5x = 440 \\ x = 88$


Det koster 88 kroner for barn og 128 kroner for voksne.

Oppgave 3

a)

1T-17-2-3a.png


b)

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

a)

Pytagoras:

$(R+r)^2 = R^2 + (2R-r)^2 \\ R^2+ 2Rr + r^2 = R^2 + 4R^2 - 4Rr +r^2 \\ 6Rr = 4R^2 \\ r = \frac 23R$

b)

Arealet av det grå (blå) feltet er arealet av kvartsirkelen minus arealene av de to halvsirklene.

$A = \frac{\pi(2R)^2}{4} - \frac{\pi R^2}{2} -\frac{\pi( \frac{2R}{3})^2}{2} \\ A = \pi R^2- \frac{9 \pi R^2}{18} - \frac{4 \pi R^2}{18} \\ A = \frac{5 \pi R^2}{18}$