Emilga » 12/09-2019 11:50
For å avgjøre om $g(x)$ er kontinuerlig i punktet $x=1$:
1) $g(x)$ må være definert i punktet $x=1$. Og det er den: $g(x=1) = 0$.
2) Grensen $\lim_{x \to 1} g(x)$ må konvergere, og være lik funksjonsverdien til $g$ i punktet $x=1$. Altså må denne grensen være like $0$. Vi deler gjerne grensen $x \to 1$ i to, én der $x \to 1^+$ ovenfra, og én der $x \to 1^-$ nedenfra. Begge disse grensene må da konvergere til $0$ for at $g$ skal være kontinuerlig i punktet $x=1$.
La oss se på $\lim_{x \to 1^+} g(x)$.
Observer at $-1 \leq \sin \left( \frac 1{x-1} \right) \leq 1$, siden $\sin( \cdot )$ alltid ligger mellom $\pm 1$.
Altså ligger $g$ mellom:
$$ (x-1) (1 + (-1)) \leq g(x) \leq (x-1) (1 + 1) $$
$$0 \leq g(x) \leq 2(x-1)$$
Og siden: $ \lim_{x \to 1^+} 2(x-1) = 0$, vil grensen $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 0$. (Skviseteoremet.)
Vi gjør tilsvarende for nedre grense.
For å sjekke om $g$ er deriverbar i $x=1$, må:
$$\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h}$$
konvergere og være lik for øvre ($h \to 1^+$) og nedre ($h \to 1^-$) grense. Dersom disse grensene er forskjellige, er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.
For å avgjøre om $g(x)$ er kontinuerlig i punktet $x=1$:
1) $g(x)$ må være definert i punktet $x=1$. Og det er den: $g(x=1) = 0$.
2) Grensen $\lim_{x \to 1} g(x)$ må konvergere, og være lik funksjonsverdien til $g$ i punktet $x=1$. Altså må denne grensen være like $0$. Vi deler gjerne grensen $x \to 1$ i to, én der $x \to 1^+$ ovenfra, og én der $x \to 1^-$ nedenfra. Begge disse grensene må da konvergere til $0$ for at $g$ skal være kontinuerlig i punktet $x=1$.
La oss se på $\lim_{x \to 1^+} g(x)$.
Observer at $-1 \leq \sin \left( \frac 1{x-1} \right) \leq 1$, siden $\sin( \cdot )$ alltid ligger mellom $\pm 1$.
Altså ligger $g$ mellom:
$$ (x-1) (1 + (-1)) \leq g(x) \leq (x-1) (1 + 1) $$
$$0 \leq g(x) \leq 2(x-1)$$
Og siden: $ \lim_{x \to 1^+} 2(x-1) = 0$, vil grensen $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 0$. (Skviseteoremet.)
Vi gjør tilsvarende for nedre grense.
For å sjekke om $g$ er deriverbar i $x=1$, må:
$$\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h}$$
konvergere og være lik for øvre ($h \to 1^+$) og nedre ($h \to 1^-$) grense. Dersom disse grensene er forskjellige, er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.