Solar Plexsus » 13/10-2019 11:30
Nå er
$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$
$= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{1 - a}{\frac{1}{x}{\Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}}$,
som gir
$(1) \;\; \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} = \frac{1 - a}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}}}$.
Det faktum at
$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}} = \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^2}} = 2\sqrt{1 + 0} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$,
hvilket følge (1) innebærer at
$\lim_{x \rightarrow \infty} \Big ( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \, \Big ) = \frac{1 - a}{2}$.
Dermed må
$\frac{1 \: - \: a}{2} = 7$,
som er en likning som har løsningen
$a = 1 - 2 \cdot 7 = 1 - 14 = -13$.
Nå er
$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$
$= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$
$= \frac{1 - a}{\frac{1}{x}{\Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}}$,
som gir
$(1) \;\; \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} = \frac{1 - a}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}}}$.
Det faktum at
$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}} = \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^2}} = 2\sqrt{1 + 0} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$,
hvilket følge (1) innebærer at
$\lim_{x \rightarrow \infty} \Big ( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \, \Big ) = \frac{1 - a}{2}$.
Dermed må
$\frac{1 \: - \: a}{2} = 7$,
som er en likning som har løsningen
$a = 1 - 2 \cdot 7 = 1 - 14 = -13$.