Tallteori Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Tallteori

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 30/09-2017 04:33

stensrud skrev:Alternativt så følger det av det mer generelle resultatet som er bevist her.


Bilde

Re: Tallteori

Innlegg stensrud » 27/09-2017 21:16

Alternativt så følger det av det mer generelle resultatet som er bevist her.

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 27/09-2017 19:16

Alternativt kan man skrive $(m-1)m(m+1)=m(m^2-1)=n^2$. Det er klart at $gcd(m,m^2-1)=1$, så både $m$ og $m^2-1$ må være kvadrattall. La $m^2-1=b^2$, som er ekvivalent med $m^2-b^2=(m-b)(m+b)=1$, så vi må ha at $m-b=m+b=\pm 1\Rightarrow b=0$ og $m=\pm 1$, men da vil det minste av de påfølgende heltallene være ikkepositivt, dermed har vi motsigelsen.

Re: Tallteori

Innlegg Solar Plexsus » 27/09-2017 17:35

(b) Anta at det finnes tre påfølgende heltallene er $m-1$, $m$ og $m+1$ slik at produktet av disse er et kvadrattall; dvs. det finnes et positivt heltall $n$ slik at

$(1) \;\; (m - 1)m(m + 1) = n^2$.

Nå finnes det to positive heltall $a$ og $b$ slik at $a$ er kvadratfri og $m = ab^2$. Likning (1) gir $m \mid n^2$, i.e. $ab^2 \mid n^2$. Dette medfører at $ab \mid n$, som betyr at det finnes et positivt heltall $c$ slik at $n = abc$, som innsatt i likning (1) resulterer i at

$(2) \;\; a^2b^4 - 1 = ac^2$.

Følgelig må $a \mid 1$ iht. likning (3), som impliserer at $a=1$, som innsatt i likning (2) gir

$(3) \;\; (b^2 - c)(b^2 + c) = 1$.

Av likning (3) får vi at $b^2 - c = b^2 + c = 1$, i.e. $c=0$ og $n = abc = 0$. Av denne motsigelsen følger at likning (1) har ingen løsninger. q.e.d.

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 15/09-2017 22:48

Janhaa skrev:
plutarco skrev:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .

vises med dobbel-ulikheten under:

[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]

da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.


Ja, nettopp

Re: Tallteori

Innlegg Janhaa » 15/09-2017 20:10

plutarco skrev:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .

vises med dobbel-ulikheten under:

[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]

da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.

Tallteori

Innlegg Gustav » 15/09-2017 18:25

(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.

(b) Vis at produktet av tre påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.

Topp