Abelrelevante oppgaver, del 2 Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Abelrelevante oppgaver, del 2

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gjest » 03/11-2017 12:37

plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Ser ut til at abeloppgavene dine var en slager så jeg tror du trygt kan legge ut helt til folk slutter å løse dem, eller du går lei av å finne oppgaver. Selv likte jeg godt geometriproblemene så hvis du har noen av de må du gjerne legge ut sånne også :)

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 03/11-2017 11:53

plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.


Gjerne det! Var svaret på 1 og 2 korrekt?

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 11:47

Enkel og elegant løsning !

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 03/11-2017 10:26

Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 03/11-2017 10:17

Fint det!

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 10:14

5 * [tex]x_1[/tex] + 4 * [tex]x_2[/tex] + 3 * [tex]x_3[/tex] + 2 * [tex]x_4[/tex] + [tex]x_5[/tex] = a * H.S. ( alfa ) + b * H.S.( beta ) = 6 * 1 + ( -1 )* 2 = 4

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 09:48

Alternativ løsning:

Har valgt å "øremerke" de to ligningene med henholdsvis alfa og beta (har ikke tilgang til det greske alfabetet på min PC )
Siden vi her har å gjøre med et underbestemt ligningssett ( 2 ligninger og 5 ukjente ) , må det påfølgende uttrykket
være en lineærkombinasjon av V.S. i alfa og beta for at problemet skal være løsbart.

Nå vil jeg bestemme a og b slik at

a * V.S. (alfa ) + b * V.S. (beta ) = 5 * x[tex]_1[/tex] + 4*x[tex]_2[/tex] + 3*[tex]x_3[/tex] + 2*x[tex]_4[/tex] + x[tex]_5[/tex].

Vi trenger bare to ligninger for å bestemme a og b.

Summen av x[tex]_1[/tex] - ledda = 5 * x[tex]_1[/tex] gir ligningen

( 1 ) a + b = 5

Sammenligner x[tex]_5[/tex]-ledda og får ligningen

( 2 ) a + 5b = 1

Dette ligningssetett har løsningen a = 6 og b = -1

Summerer høyresidene i alfa og beta , og får

sum = 6 *1 + 2 * ( - 1 ) = 4

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 23:14

plutarco skrev:3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$



Setter $y=5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Vi kan skrive $x_1$ som $1-x_2-x_3-x_4-x_5$, $x_2$ som $1-x_1-x_3-x_4-x_5$ osv. Vi har da at;

$y = 5(1-x_2-x_3-x_4-x_5) + 4(1-x_1-x_3-x_4-x_5) + 3(1-x_1-x_2-x_4-x_5) + 2(1-x_1-x_2-x_3-x_5) + (1-x_1-x_2-x_3-x_4)$

$y = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5$

Vi observerer at hvis vi legger til $9 \cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$, som vi vet er lik 1, får vi $-(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)$ som vi vet er lik $2$.

$y + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5 + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$

$y + 9 \cdot 1 = 15 -(x_1+2x_2+3x_3+4x_5+5x_5)$

$y + 9 = 15 - 2$

$y = 4$

Altså er $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5 = 4$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 22:39

plutarco skrev:2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$


Vi observerer at $y=xy$ kun har løsning når:
$(1) \enspace \enspace x=0$ og $y=0$
$(2) \enspace \enspace x=1$ og $y =$ et vilkårlig tall
$(3) \enspace \enspace x=$ et vilkårlig tall og $y=0$

Vi sjekker når disse løsningene passer inn med $2x=x^2+y^2$

$(0, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2\cdot 0 = 0^2+0^2 \Rightarrow 0=0 \enspace \checkmark$
$(1, $vilkårlig tall$) \enspace \rightarrow \enspace 2 \cdot 1 = 1^2 + y^2 \Rightarrow 2-1 = y^2 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y = \{-1,1 \}$
$($vilkårlig tall$, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2x = x^2 + 0^2 \Rightarrow x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = \{0,2 \}$

Vi har altså fire tallpar som oppfyller likningene: $(0,0), \, (1,-1), \, (1,1), \, (2,0)$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 22:02

plutarco skrev:1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$


$x^2+2 y^2 +z^2=2xy+2yz$

$x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$

$x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+y^2 = 0$

$(x-y)^2 + (z-y)^2 = 0$

Siden både $(x-y)^2$ og $(z-y)^2$ gir positive verdier, så lenge $x-y \neq 0$ og $z-y \neq 0$, er den eneste måten likningen kan være sann på hvis $x-y = 0$ og $z-y = 0$.

Det finnes uendelig mange tripler $(x,y,z)$ som oppfyller det kriteriet, og alle er på formen $(n,n,n)$, altså $x=y=z$.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 18:46

Riktig!

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Janhaa » 01/11-2017 17:11

plutarco skrev:9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:
[+] Skjult tekst
Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x


Gjorde oppg 9 i går, men glemte den av.
Fant for øvrig ut at:

[tex]x=0:[/tex]
gir
[tex]f(0)=0[/tex]
og
[tex]x=1[/tex]
gir
[tex]f(0)=1[/tex]

som blir motsigelse.

Ellers mener jeg at liknende funksjonalligninger ofte er på:
[tex]f(x)=1/x[/tex]
form?

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 01/11-2017 17:05

Takk for tilbakemelding ! Da er p( 5 ) entydig bestemt ( a = [tex]\frac{1}{24}[/tex] ).

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 16:49

Godt observert. Glemte tilleggsopplysningen at $p(0)=1$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 01/11-2017 14:44

Har et spørsmål til oppgave 7:

Har funnet p(x) = x + a*(x - 1)(x- 2)(x - 3)(x - 4)

Ut fra opplysningene i oppgaveteksta kan tallfaktoren a være et hvilket som helst tall, bare ikke lik null ( 0 ).

Det må da bety at p( 5 ) ikke er entydig bestemt , eller har jeg feiltolket problemet ?

Topp