Finn funksjonen Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Finn funksjonen

Re: Finn funksjonen

Innlegg Markus » 26/12-2017 00:29

Kay skrev:Ser helt riktig ut det der, fikk samme svar selv bare som [tex]f(x)[/tex] og ikke [tex]f(z)[/tex].

Hvis du har fått det samme så er det vel forhåpentligvis korrekt! :D
Grunnen til at jeg brukte $z$ er fordi både $\Gamma(z)$ og $\zeta(z)$-funksjonen er, i følge det jeg vet, mest brukt i kompleks analyse. Og da snakker vi vel om at funksjonen tar komplekse verdier, istedenfor kun reelle. $x$ bruker vel man om element i $\mathbb{R}$ og $z$ om element i $\mathbb{C}$.

Re: Finn funksjonen

Innlegg Kay » 26/12-2017 00:21

Markus skrev:Jeg må ærlig innrømme at kunnskapen min innen kompleks analyse er tilnærmet ingen, så jeg bruker formler og resultat i blinde. Heldigvis er problemet av algebraisk art, slik at det blir mulig for en som meg.

Vi ønsker å finne $f(z)$ slik at
$$f(z)e^{-z}\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right ) = f \left (\frac{\pi}{2} -z\right )e^{z-\frac{\pi}{2}} \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi}\right ) \enspace \enspace (1)$$
På venstresiden av $(1)$ har vi $e^{-z}$, imens vi på høyresiden har $e^{z-\frac{\pi}{2}}$. Hvis vi lar $e^z$ være en faktor i $f(z)$, og fokuserer kun på eksponentialfunksjon-faktorene får vi at
$$e^ze^{-z} = e^{\frac{\pi}{2}-z}e^{z-\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow e^{z-z} = e^{z-z} \Longrightarrow 1 = 1$$
Så $e^z$ må altså være en faktor i $f(z)$.

Følger videre hintet.
En identitet (se side 3) tilhørende Riemanns Zeta funksjon er
$$\Gamma \left(\frac{s}{2} \right)\pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s)= \Gamma \left (\frac{1-s}{2} \right )\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)$$
La nå $s \to \frac{2z}{\pi}$, slik at
$$\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right)\pi^{-\frac{z}{\pi}}\zeta \left(\frac{2z}{\pi} \right) = \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right ) \pi^{-\frac{1}{2} + \frac{z}{\pi}}\zeta \left(1-\frac{2z}{\pi} \right ) \enspace \enspace (2)$$
Hvis vi nå skriver $(1)$ og markerer alle leddene som også er i $(2)$ (vi utelater $e^z$ siden vi allerede har sett på dette) ser vi at
$$f(z)\mathbf{\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right )} = f \left (\frac{\pi}{2} - z \right )\mathbf{\Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right )} \enspace \enspace (3)$$
Hvis vi nå sammenligner dette med $(2)$ ser vi klart at $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ mangler på venstresiden. Hvis vi nå kun fokuserer på gamma-funksjon-faktorene og zeta-funksjon-faktorene og setter inn $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ for $f(z)$ i $(3)$ ser vi at
$$\zeta \left (\frac{2z}{\pi} \right ) \Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right) = \zeta \left (\frac{\pi}{2} - \frac{2z}{\pi} \right ) \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right )$$
tilfredstiller den originale funksjonallikningen i $(1)$, hvis vi kun ser på zeta- og gamma-termene. Det eneste som gjenstår nå er å se på $\pi$-faktorene. Per identiteten gitt tidligere vil vi ha $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ som faktor på VS og $\pi^{\frac{z}{\pi}-\frac{1}{2}}$ på HS. Vi ser at vi mangler $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ som faktor på VS i $(1)$. La $f_{\pi}(z) = \pi^{-\frac{z}{\pi}}$ slik at $f_{\pi}(\frac{\pi}{2} - z) = \pi^{\frac{\frac{\pi}{2}-z}{\pi}} = \pi^{\frac{1}{2}-\frac{z}{\pi}}$. Altså får vi korrekt på både VS og HS, og av dette ser vi klart at hvis $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ er en faktor i $f(z)$ vil det med andre ord tilfredstille identiteten.

Utifra alle observasjonene og utregningene kan vi slå fast at $e^z$, $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ og $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ alle er faktorer i $f(z)$ slik at

$$f(z) = \zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)e^z\pi^{-\frac{z}{\pi}}$$

Og det passer definitivt nå å si med forbehold om feil. Det overrasker meg om det ikke er noen.


Ser helt riktig ut det der, fikk samme svar selv bare som [tex]f(x)[/tex] og ikke [tex]f(z)[/tex].

Re: Finn funksjonen

Innlegg Markus » 25/12-2017 23:36

Jeg må ærlig innrømme at kunnskapen min innen kompleks analyse er tilnærmet ingen, så jeg bruker formler og resultat i blinde. Heldigvis er problemet av algebraisk art, slik at det blir mulig for en som meg.

Vi ønsker å finne $f(z)$ slik at
$$f(z)e^{-z}\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right ) = f \left (\frac{\pi}{2} -z\right )e^{z-\frac{\pi}{2}} \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi}\right ) \enspace \enspace (1)$$
På venstresiden av $(1)$ har vi $e^{-z}$, imens vi på høyresiden har $e^{z-\frac{\pi}{2}}$. Hvis vi lar $e^z$ være en faktor i $f(z)$, og fokuserer kun på eksponentialfunksjon-faktorene får vi at
$$e^ze^{-z} = e^{\frac{\pi}{2}-z}e^{z-\frac{\pi}{2}} \Longrightarrow e^{z-z} = e^{z-z} \Longrightarrow 1 = 1$$
Så $e^z$ må altså være en faktor i $f(z)$.

Følger videre hintet.
En identitet (se side 3) tilhørende Riemanns Zeta funksjon er
$$\Gamma \left(\frac{s}{2} \right)\pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s)= \Gamma \left (\frac{1-s}{2} \right )\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)$$
La nå $s \to \frac{2z}{\pi}$, slik at
$$\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right)\pi^{-\frac{z}{\pi}}\zeta \left(\frac{2z}{\pi} \right) = \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right ) \pi^{-\frac{1}{2} + \frac{z}{\pi}}\zeta \left(1-\frac{2z}{\pi} \right ) \enspace \enspace (2)$$
Hvis vi nå skriver $(1)$ og markerer alle leddene som også er i $(2)$ (vi utelater $e^z$ siden vi allerede har sett på dette) ser vi at
$$f(z)\mathbf{\Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right )} = f \left (\frac{\pi}{2} - z \right )\mathbf{\Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right )} \enspace \enspace (3)$$
Hvis vi nå sammenligner dette med $(2)$ ser vi klart at $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ mangler på venstresiden. Hvis vi nå kun fokuserer på gamma-funksjon-faktorene og zeta-funksjon-faktorene og setter inn $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ for $f(z)$ i $(3)$ ser vi at
$$\zeta \left (\frac{2z}{\pi} \right ) \Gamma \left (\frac{z}{\pi} \right) = \zeta \left (\frac{\pi}{2} - \frac{2z}{\pi} \right ) \Gamma \left (\frac{1}{2} - \frac{z}{\pi} \right )$$
tilfredstiller den originale funksjonallikningen i $(1)$, hvis vi kun ser på zeta- og gamma-termene. Det eneste som gjenstår nå er å se på $\pi$-faktorene. Per identiteten gitt tidligere vil vi ha $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ som faktor på VS og $\pi^{\frac{z}{\pi}-\frac{1}{2}}$ på HS. Vi ser at vi mangler $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ som faktor på VS i $(1)$. La $f_{\pi}(z) = \pi^{-\frac{z}{\pi}}$ slik at $f_{\pi}(\frac{\pi}{2} - z) = \pi^{\frac{\frac{\pi}{2}-z}{\pi}} = \pi^{\frac{1}{2}-\frac{z}{\pi}}$. Altså får vi korrekt på både VS og HS, og av dette ser vi klart at hvis $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ er en faktor i $f(z)$ vil det med andre ord tilfredstille identiteten.

Utifra alle observasjonene og utregningene kan vi slå fast at $e^z$, $\pi^{-\frac{z}{\pi}}$ og $\zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)$ alle er faktorer i $f(z)$ slik at

$$f(z) = \zeta\left (\frac{2z}{\pi} \right)e^z\pi^{-\frac{z}{\pi}}$$

Og det passer definitivt nå å si med forbehold om feil. Det overrasker meg om det ikke er noen.

Finn funksjonen

Innlegg Kay » 25/12-2017 19:36

Finn funksjonen som tilfredsstiller likninga [tex]f(x)e^{-x}\Gamma(\frac{x}{\pi})=f(\frac{\pi}{2}-x)e^{x-\frac{\pi}{2}}\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{x}{\pi})[/tex]

Hint:
[+] Skjult tekst
Riemann-zeta

Topp