Areal mellom sirkler Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Areal mellom sirkler

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg viking » 02/07-2018 17:32

Gjest skrev:Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene?



Den lille sirkelen er [tex]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/tex] vekk fra senter. Flyttet den til y-aksen, og brukte symmetri til å skrive integralet [tex]2\int_{0}^{}[/tex].

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Mattegjest » 02/07-2018 16:56

Alternativ ( geometrisk ) løysing :

Segment ( liten sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 ) ) * 0.5[tex]^2[/tex] - rota av ( 7 )/32 = 0.21967


Segment (stor sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 )/5 ) * 1[tex]^2[/tex] - 5 * rota av ( 7 ) /32 = 0.07329


Areal ( skravert område ) = Segment( liten sirkel ) - Segment ( stor sirkel ) = 0.21967 - 0.07329 = 0.14368

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Gjest » 02/07-2018 14:39

viking skrev:Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638


Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene? Egentlig hadde jeg satt veldig pris på om du fortalte hva du tenkte for å løse det så elegant.

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg viking » 02/07-2018 08:53

Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Panne » 29/06-2018 20:53

Man kan bruke areal under parametriserte kurver!

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Gjest » 29/06-2018 06:17

Dette er sikkert en veldig tungvint måte å gjøre det på men men

Sentrum av den lille sirkelen er $S_2 = (0.5, 0.5)$

Sirkellikningen for de to sirklene er:

$S_1 : x^2 + y^2 = 1$
$S_2 : (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 0.5^2$

Disse skjærer hverandre i $x = y = \frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} \Rightarrow$ punktene $(0.294, 0.956)$ og $(0.956, 0.294)$

Avstanden mellom de to skjæringspunktene danner en felles korde for både den store og lille sirkelen. Arealet av sirkelsegmentet til den lille minus areal av sirkelsegmentet til den store utgjør det skraverte området.

Formelen for areal av sirkelsegment er $A = \frac{r^2}{2} (\theta - sin(\theta))$

Først må man finne sirklenes sentralvinkler. For dette kan man bruke formelen $cos (\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ eller enda enklere, Pytagoras. For Pytagoras setter man hypotenusen lik radiusen fra det ene skjæringspunktet til de to sentrene. Dermed blir halve korden lik den ene kateten og en del av radiusen, som halverer den fulle vinkelen, danner det andre katetet (Utnytter symmetri).

Korden har en lengde: $\sqrt{(0.956-0.294)^2+(0.294-0.956)^2}=0.935$ Halve korden blir $0.935/2 = 0.468$

For den lille sirkelen er dermed $sin \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{0.468}{0.5} \Rightarrow \theta_2 = 2.42$
Og for den store sirkelen er $\theta_1 = 2 sin \left(\frac{0.468}{1} \right)^{-1} = 0.97$

Dermed har vi alt som trengs for å regne ut arealet.
$A_2-A_1 = \frac{0.5^2}{2}(2.42-sin(2.42))-\left(\frac{1^2}{2}(0.97-sin(0.97)\right) = 0.147$
Det endelige arealet av det skraverte området er altså rundt 0.147.

Areal mellom sirkler

Innlegg MatIsa » 28/06-2018 17:48

Finn arealet av det skraverte området i figuren under:
Figur.png
Figur.png (40.45 KiB) Vist 1827 ganger

Topp