Markus skrev:La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$
Regner med at det finnes elegante måter å løse dette på, men gjør et forsøk:
[tex]\sum_{k=0}^n\sin(k\theta)=\Im\left (\sum_{k=0}^n(e^{i\theta})^k \right )[/tex]
Her sier du at [tex]\theta[/tex] ikke er et multiplum av [tex]2k\pi[/tex] Ergo er dette geometrisk, og da er det ganske planke å gå fram, men uttrykket blir noe stygt
Da får vi med litt mellomregning [tex]\Im\left ( \frac{1-\cos((n+1)\theta)-i\sin((n+1)\theta)}{1-cos(\theta)-i\sin(\theta)} \right )[/tex]
Nå ønsker vi vel helst reelle tall og da får vi [tex]\frac{1-\cos((n+1)\theta)\sin(\theta)-\sin((n+1)\theta)(1-\cos(\theta))}{2(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(n\theta)-\sin((n+1)\theta)+1}{2(1-\cos(\theta))}[/tex]
Edit: Alt dette følger naturligvis fra Eulers formel [tex]e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)[/tex]
[quote="Markus"]La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$[/quote]
Regner med at det finnes elegante måter å løse dette på, men gjør et forsøk:
[tex]\sum_{k=0}^n\sin(k\theta)=\Im\left (\sum_{k=0}^n(e^{i\theta})^k \right )[/tex]
Her sier du at [tex]\theta[/tex] ikke er et multiplum av [tex]2k\pi[/tex] Ergo er dette geometrisk, og da er det ganske planke å gå fram, men uttrykket blir noe stygt
Da får vi med litt mellomregning [tex]\Im\left ( \frac{1-\cos((n+1)\theta)-i\sin((n+1)\theta)}{1-cos(\theta)-i\sin(\theta)} \right )[/tex]
Nå ønsker vi vel helst reelle tall og da får vi [tex]\frac{1-\cos((n+1)\theta)\sin(\theta)-\sin((n+1)\theta)(1-\cos(\theta))}{2(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(n\theta)-\sin((n+1)\theta)+1}{2(1-\cos(\theta))}[/tex]
Edit: Alt dette følger naturligvis fra Eulers formel [tex]e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)[/tex]