Markus » 19/11-2018 21:57
Fant denne da jeg så på gamle problem i dette underforumet. Er vel dessuten en fin oppvarming til eksamen i Lineær Algebra som kommer snart.
Starter med et lemma; Hvis $A$ er en $2x2$-matrise med heltallselementer har $A^{-1}$ heltallselementer hvis og bare hvis $\det(A)=\pm 1$.
Bevis
$(\Longleftarrow)$ For en $2x2$-matrise $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ er $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$. Siden $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ og $\det(A)=\pm 1 \therefore \frac{1}{\det(A)} = \pm 1$, vil $A^{-1}$ også ha heltallselementer.
$(\Longrightarrow)$ Vi har at $I=AA^{-1}$, så $1=\det(I)=\det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1})$. Dette gir at $\frac{1}{\det(A^{-1})}=\det(A)$. Siden $A$ kun har heltallselementer er det klart at $\det(A)\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$. Den eneste måten dette kan skje på er hvis $\det(A^{-1})=\pm 1$,for ellers ville det vært en motsigelse til at $\det(A) \in \mathbb{Z}$. Dette fullfører beviset.
Nå over til det faktiske problemet.
La $D(n)=\det(A+Bn)$ der $A,B$ er matriser og $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Vi vet fra informasjonen gitt i oppgaven og det lemmaet vi nettopp viste at $D(0)=\pm 1, D(1) = \pm 1, D(2) = \pm 1,D(3)= \pm 1 $ og $D(4) = \pm 1$. La $A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$ og $B=\begin{pmatrix}b_1 & b_2\\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}$. Nå er $$D(n)=(a_1+nb_1)(a_4+nb_4) - (a_2+nb_2)(a_3+nb_3)=n^2(b_1b_4-b_2b_3)+n(a_1b_4+a_4b_1-a_2b_3-a_3b_2)+(a_1a_4-a_2a_3)$$ som vi ser er et polynom i $n$ av grad $2$. Da må $D'(n)$ være lineær, men se nå på $D(0),D(1),D(2),D(3),D(4)$ Siden alle disse verdiene er lik $\pm 1$, og vi har $5$ slike, må $D(n)$ enten være lik $-1$ eller $1$ minst $3$ ganger. Siden $D'(n)$ er lineær kan vi maksimalt skjære $x$-aksen 2 ganger, og da kan samme verdi på $y$-aksen oppnås maks $2$ ganger. Den eneste muligheten er at $D(n)$ er konstant lik $+1$ eller $-1$. Da har vi at $D(5)=\pm 1$, som er ekvivalent med at $\left(A+5B\right)^{-1}$ har heltallselementer av lemmaet.
Fant denne da jeg så på gamle problem i dette underforumet. Er vel dessuten en fin oppvarming til eksamen i Lineær Algebra som kommer snart.
Starter med et lemma; Hvis $A$ er en $2x2$-matrise med heltallselementer har $A^{-1}$ heltallselementer hvis og bare hvis $\det(A)=\pm 1$.
[b]Bevis[/b]
$(\Longleftarrow)$ For en $2x2$-matrise $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ er $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$. Siden $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ og $\det(A)=\pm 1 \therefore \frac{1}{\det(A)} = \pm 1$, vil $A^{-1}$ også ha heltallselementer.
$(\Longrightarrow)$ Vi har at $I=AA^{-1}$, så $1=\det(I)=\det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1})$. Dette gir at $\frac{1}{\det(A^{-1})}=\det(A)$. Siden $A$ kun har heltallselementer er det klart at $\det(A)\in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$. Den eneste måten dette kan skje på er hvis $\det(A^{-1})=\pm 1$,for ellers ville det vært en motsigelse til at $\det(A) \in \mathbb{Z}$. Dette fullfører beviset.
Nå over til det faktiske problemet.
La $D(n)=\det(A+Bn)$ der $A,B$ er matriser og $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Vi vet fra informasjonen gitt i oppgaven og det lemmaet vi nettopp viste at $D(0)=\pm 1, D(1) = \pm 1, D(2) = \pm 1,D(3)= \pm 1 $ og $D(4) = \pm 1$. La $A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$ og $B=\begin{pmatrix}b_1 & b_2\\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}$. Nå er $$D(n)=(a_1+nb_1)(a_4+nb_4) - (a_2+nb_2)(a_3+nb_3)=n^2(b_1b_4-b_2b_3)+n(a_1b_4+a_4b_1-a_2b_3-a_3b_2)+(a_1a_4-a_2a_3)$$ som vi ser er et polynom i $n$ av grad $2$. Da må $D'(n)$ være lineær, men se nå på $D(0),D(1),D(2),D(3),D(4)$ Siden alle disse verdiene er lik $\pm 1$, og vi har $5$ slike, må $D(n)$ enten være lik $-1$ eller $1$ minst $3$ ganger. Siden $D'(n)$ er lineær kan vi maksimalt skjære $x$-aksen 2 ganger, og da kan samme verdi på $y$-aksen oppnås maks $2$ ganger. Den eneste muligheten er at $D(n)$ er konstant lik $+1$ eller $-1$. Da har vi at $D(5)=\pm 1$, som er ekvivalent med at $\left(A+5B\right)^{-1}$ har heltallselementer av lemmaet.