Gustav skrev:Nok en oppfølger:
Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $$ f(x^2+xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$$ for alle reelle $x,y$.
$x=y=0 \ \Rightarrow f(0)=f(0)^2 \ \Rightarrow f(0)=0 \ \vee \ 1$.
$x=0 \ \Rightarrow f(0)=f(0)(f(y)+y)$.
Så dersom $f(0)=1$ får vi $f(x)=1-x, \ \forall x\in \mathbb{R}$. Vi setter inn og verifiserer at dette faktisk er en løsning.
Dersom $f(0)=0$ og $y=0 \ \Rightarrow f(x^2)=xf(x)$, som gir $xf(x)=f(x^2)=f((-x)^2)=-xf(-x) \ \Rightarrow f(-x)=-f(x)$.
$y=-x \ \Rightarrow xf(x)=f(x)f(-x)=-f(x)^2 \ \Rightarrow f(x)=0 \ \vee f(x)=-x$ for enhver $x\in \mathbb{R}$.
La $x\neq 0, y=1-x$:
$f(x)(x-f(1-x))=xf(1) $
Siden $f(1-x)=0 \ \vee f(1-x)=-(1-x)=x-1$, så har vi at $x-f(1-x)\neq 0$ og derfor
$f(x)=0 \Leftrightarrow f(1)=0$.
Derfor har vi de tre løsningene:
1) $f(x)=1-x, \ \forall x\in \mathbb{R}$ (når $f(0)=1$).
2) $f(x)=-x, \ \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ (når $f(1)=-1$).
3) $f(x)\equiv 0, \ \ \ \ \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ (når $f(1)=0$).
Vi verifiserer at 2) og 3) faktisk er løsninger ved innsetting.