Funksjonsnøtt Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Funksjonsnøtt

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Kjell-Kåre » 12/02-2019 13:13

Ikke noe problem, S står fremst der :)

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Gjest » 12/02-2019 00:40

Markus skrev:
Løs_ODE skrev:oppgave
[tex]S=1+2*(1/7)^1+3*(1/7)^2+....................+(n+1)(1/7)^n+.........[/tex]

Hva er målet? Finne $S$? Og er det en uendelig sum, siden du har alle punktum etter det siste leddet der?


ja du skal finne S

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 12/02-2019 00:26

Løs_ODE skrev:oppgave
[tex]S=1+2*(1/7)^1+3*(1/7)^2+....................+(n+1)(1/7)^n+.........[/tex]

Hva er målet? Finne $S$? Og er det en uendelig sum, siden du har alle punktum etter det siste leddet der?

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Løs_ODE » 11/02-2019 23:26

oppgave
[tex]S=1+2*(1/7)^1+3*(1/7)^2+....................+(n+1)(1/7)^n+.........[/tex]

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 11/02-2019 22:43

Mattegjest skrev:Venstre side (V. S. ) kan skrivast


x (x + 1 ) ( 1 + x[tex]^{2}[/tex] + 4[tex]^{4}[/tex] + ............+ x[tex]^{2n}[/tex]) = 0

Denne likninga har openbart berre to løysingar : x = 0 eller x = -1

Yes - flotters mattegjest! Riktignok ikke helt trivielt å se den faktoriseringa der, og flere måter å finne den på. Oppgaven er som for øvrig omtrent alt annet jeg har postet fra Abelkonkurransen.

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Gjest » 11/02-2019 20:19

[tex]\sum_{n=1}^{2018}x^n \rightarrow x=-1 \vee x=0[/tex]

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg euklids sønn » 11/02-2019 20:17

[tex]\sum_{n=1}^{2018}x^n \rightarrow x=-1 \vee x=0[/tex

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Mattegjest » 11/02-2019 19:33

Venstre side (V. S. ) kan skrivast


x (x + 1 ) ( 1 + x[tex]^{2}[/tex] + 4[tex]^{4}[/tex] + ............+ x[tex]^{2n}[/tex]) = 0

Denne likninga har openbart berre to løysingar : x = 0 eller x = -1

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 11/02-2019 18:35

Gjest skrev:
Markus skrev:Tillater meg å poste enda en oppfølger. En av favorittene mine i denne typen funksjonsnøtter:

Hvor mange reelle løsninger har likningen $x+x^2+x^3+\dots+x^{2018}=0$?

Må være 2

Ja, men hvorfor?

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Gjest » 11/02-2019 06:58

Markus skrev:Tillater meg å poste enda en oppfølger. En av favorittene mine i denne typen funksjonsnøtter:

Hvor mange reelle løsninger har likningen $x+x^2+x^3+\dots+x^{2018}=0$?

Må være 2

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 11/02-2019 00:37

Tillater meg å poste enda en oppfølger. En av favorittene mine i denne typen funksjonsnøtter:

Hvor mange reelle løsninger har likningen $x+x^2+x^3+\dots+x^{2018}=0$?

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 07/02-2019 14:22

$8$ er rett svar. Problemet ligger jo forsåvidt i å vise at alle røttene er reelle og av multiplisitet $1$. Løsningen er veldig elegant, tatt fra LF:
Likningen $f(x)=a$ gir $x-\frac1x=a$ eller $x^2-ax-1=0$. Denne andregradslikningen har alltid to forskjellige løsninger. Derfor har vi at løsningsmengden til $f(x)=1$ består av to punkter: $a_1,a_2$. Tilsvarende har da $f(f(x))=1$ fire løsninger $f(b_1)=a_1$, $f(b_2)=a_1$, $f(b_3)=a_2$ og $f(b_4)=a_2$. Videre gir dette at $f(f(f(x)))=1$ har åtte løsninger: to for hver $b_i$ der $f(x)=b_i$. (Abelkonkurransen runde 2 95/96)

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Kay » 07/02-2019 05:20

Markus skrev:
Aleks855 skrev:Oppfølger: La $f$ være en funksjon som tilfredsstiller $f(x) + xf(1-x) = 120x$ for alle $x \in \mathbb R$. Finn $f(2)$.

La $x \mapsto 1-x$, som gir $f(1-x)+(1-x)f(x)=120(1-x)$, så $f(1-x)=120-120x-f(x)+xf(x)$. Dette innsatt i den originale funksjonallikningen gir $$f(x)+x(120-120x-f(x)+xf(x))=120x \\ f(x)=\frac{120x^2}{1-x+x^2}$$ så $f(2)=160$.

Oppfølger: La $f(x)=x-\frac1x$. Hvor mange forskjellige (reelle) løsninger har likningen $f(f(f(x)))=1$?


Svaret ovenfor er jeg rimelig sikker på at er rett, for å utdype: har ikke noen pen metode så jeg bruteforcer bare hele greia fullstendig [tex]f(x)=x-\frac{1}{x}\Rightarrow f(f(f(x)))=x-\frac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}-\frac{1}{x-\frac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}= \frac{x^8-7x^6+13x^4-7x^2+1}{x^7-4x^5+4x^3-x}[/tex]

Setter vi [tex]\frac{x^8-7x^6+13x^4-7x^2+1}{x^7-4x^5+4x^3-x}=1\Rightarrow \frac{x^8-x^7-7x^6+4x^5+13x^4-4x^3-7x^2+x+1}{x(x-1)(x+1)(x^2-x-1)(x^2+x-1)}=0[/tex]

Fra det fundamentale algebra teoremet og faktor-teoremet skal vel en funksjon [tex]f(x)[/tex] av grad [tex]n[/tex] ha nøyaktig [tex]n[/tex] røtter, multiplisitet og muligheten for komplekse røtter medregnet og ved det meste [tex]n[/tex] relle røtter.

Ser ikke noen form for multiplisitet eller mulighet for komplekse løsninger her, så svaret skal vel være 8 distinkte løsninger [tex]\in \mathbb{R}[/tex]

Soft bevis ved induksjon på n:

Første steg: Det er åpenbart at hvis [tex]n=0[/tex] så er [tex]f(x)=a_0x^0=a_0[/tex] som bare er en eller annen reell konstant som ikke har noen røtter.

Induksjonshypotesen: Anta at et hvert polynom av [tex]k-te[/tex] grad har maksimum [tex]k[/tex] røtter for [tex]k\in \mathbb{Z^+}[/tex]


La [tex]f(x)=\sum_{n=0}^{k+1}a_nx^n[/tex] hvor [tex]a_n\in \mathbb{R}[/tex], altså et polynom av [tex]k+1[/tex]-te grad

Hvis [tex]f(x)[/tex] ikke har noen som helst røtter er vi allerede ferdig siden [tex]0\leq k+1[/tex]. Derimot, hvis [tex]f(x)[/tex] kan vi skrive [tex]f(x)=(x-\lambda)g(x)[/tex] for ett eller annet polynom av [tex]k[/tex]-te grad. Av induksjonshypotesen har g(x) maksimum [tex]k[/tex] røtter. Siden [tex](x-\lambda)[/tex] har en rot og [tex]g(x)[/tex] har k røtter må [tex](x-\lambda)g(x)[/tex] ha maksimum [tex]k+1[/tex] røtter.



Dette tok litt lengre tid enn jeg hadde ansett. Starta klokka ti på halv fem og ble ikke ferdig før nå :roll:

Det er sånn for øvrig garantert noe der oppe som ikke holder av en eller annen grunn jeg ikke kan forklare, litt sånn spaghetti-maths hvis det gir mening.

Ser forresten for meg at den sikkert har en easy-solution som jeg ikke er gløgg nok til å se sånn på strak arm så legg den gjerne ved :)

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Gjest » 07/02-2019 00:51

Markus skrev:
Aleks855 skrev:Oppfølger: La $f$ være en funksjon som tilfredsstiller $f(x) + xf(1-x) = 120x$ for alle $x \in \mathbb R$. Finn $f(2)$.

La $x \mapsto 1-x$, som gir $f(1-x)+(1-x)f(x)=120(1-x)$, så $f(1-x)=120-120x-f(x)+xf(x)$. Dette innsatt i den originale funksjonallikningen gir $$f(x)+x(120-120x-f(x)+xf(x))=120x \\ f(x)=\frac{120x^2}{1-x+x^2}$$ så $f(2)=160$.

Oppfølger: La $f(x)=x-\frac1x$. Hvor mange forskjellige (reelle) løsninger har likningen $f(f(f(x)))=1$?


8?

Re: Funksjonsnøtt

Innlegg Markus » 07/02-2019 00:06

Aleks855 skrev:Oppfølger: La $f$ være en funksjon som tilfredsstiller $f(x) + xf(1-x) = 120x$ for alle $x \in \mathbb R$. Finn $f(2)$.

La $x \mapsto 1-x$, som gir $f(1-x)+(1-x)f(x)=120(1-x)$, så $f(1-x)=120-120x-f(x)+xf(x)$. Dette innsatt i den originale funksjonallikningen gir $$f(x)+x(120-120x-f(x)+xf(x))=120x \\ f(x)=\frac{120x^2}{1-x+x^2}$$ så $f(2)=160$.

Oppfølger: La $f(x)=x-\frac1x$. Hvor mange forskjellige (reelle) løsninger har likningen $f(f(f(x)))=1$?

Topp