Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x) Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg pederlh » 18/09-2019 20:12

Tusen takk til begge to for svarene deres! Forstår mye mer nå. Kult at ekstremalverdisetningen også dukker opp i dette beviset :)

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg Emilga » 18/09-2019 17:18

Det er riktig som du sier at middelverdisetningen bare krever at $f^\prime$ er kontinuerlig på $(a, b)$. Men siden dette intervallet er åpent (evt. halv-åpent), så har vi ingen garanti for at $f^\prime$ har en veldefinert maksverdi på dette intervallet.

Middelverdisetningen gir oss:
$$ \lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert f^\prime (c) \rvert \cdot \lvert x - y \rvert $$
Dersom vi velger $K$ slik at:
$$ K = \max_{c \in (0, \infty)} \lvert f^\prime (c) \rvert $$
Så kan vi skrive:
$$ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq K \lvert x - y \rvert $$
Men $K$ er ikke veldefinert, siden:
$$\max_{c \in (0, \infty)} \lvert f^\prime (c) \rvert = + \infty $$
når $f(x) = \sqrt{x}$.


Dersom $f^\prime$ var kontinuerlig på et lukket intervall $[a,b]$ så vil den alltid ha en veldefinert maksverdi. (Extreme value theorem.)


Vi kan videre bevise at uansett hvilken verdi av $K$ vi velger, så finnes det verdier for $x$, og $y$ som bryter ulikheten.

Anta det finnes en $K > 0$ slik at $ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leq K \lvert x - y \rvert$ for alle $x$, og $y$.

Da kan vi velge $y = 0$, og ulikheten burde fortsatt være oppfylt for alle verdier av $x$:

$$\lvert f(x) \rvert \leq K \lvert x \rvert$$

$$\lvert \sqrt{x} \rvert \leq K \lvert x \rvert$$

$$ \frac 1{\lvert \sqrt{x} \rvert} \leq K$$

Men dersom vi velger $x < \frac 1{K^2}$, så vil:

$$ \frac 1{\lvert \sqrt{x} \rvert} > K$$, som bryter ulikheten.

Altså finnes det ingen $K$ slik at ulikheten er oppfyllt for alle $x$, $y$.

EDIT: Snipet av Gustav! :o

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg Gustav » 18/09-2019 17:17

Middelverdisetningen gjelder, også i b), men den er ikke nyttig her.

b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex].



La $y=0$ og $x>0$. Da vil $|\frac{\sqrt{x}}{x}|=\frac{1}{\sqrt{x}}\to \infty$ når $x\to 0$. Dermed fins ingen $K$ som oppfyller ulikheten.

Hvorfor strider ikke dette mot a)


Fordi $f'(0)$ ikke eksisterer i b), dermed er ikke alle forutsetningene i a) oppfylt.

Re: Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x

Innlegg pederlh » 18/09-2019 13:54

Hei!

Bumper denne tråden, selv om forrige innlegg er fra 2012. Jeg sitter med samme oppgave, men jeg sliter med å se hvorfor [tex]K[/tex] ikke kan finnes i oppgave b).

[tex]f(x) = \sqrt x[/tex] er vel kun definert (og kontinuerlig) i intervallet [tex][0, \infty)[/tex], så det burde vel holde at [tex]f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}[/tex] er kontinuerlig i det indre intervallet [tex](0, \infty)[/tex] for at vi skal kunne bruke middelverdisetningen. Og da burde vel [tex]K[/tex] eksistere?

Innlegg Lord X » 08/12-2012 23:03

Jau! :)

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 22:55

Det virker rimelig. Så er vel svaret på siste del at [tex]f^\prime(x)[/tex] ikke er definert, og dermed ikke kontinuerlig, i [tex]x=0[/tex].

Takk, takk.

Innlegg Lord X » 08/12-2012 22:42

Eg antar det oppgaven meiner er at det ikkje finst ein K slik at

[tex]|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq{K|x-y|}[/tex] for alle x,y der funksjonen er definert.

Anta at det finst ein slik K og la y=0. Då finst det ein K slik at:

[tex]|\sqrt{x}|\leq{K|x|}[/tex] for alle [tex]x\geq{0}[/tex] dvs. slik at

[tex]\frac{1}{K}\leq{\frac{|x|}{|\sqrt{x}|}}[/tex]

Vi ser at dersom ein slik K skal eksistere så må K vere større enn null.

Dersom vi prøver [tex]x=\frac{1}{4K^2}[/tex] ser vi at dette impliserer

[tex]\frac{1}{K}\leq{\frac{1}{4K^2}\cdot{\frac{2K}{1}}}=\frac{1}{2K}[/tex]

som er ein motsigelse.

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 22:21

Endret litt på førsteinnlegget slik at det ble tydeligere at det var en apostrof der.

Jeg har skrevet oppgaven akkurat slik den står i boka (Kalkulus av Tom Lindstrøm, oppgaven skal være gitt som en eksamensoppgave ved UiO en eller annen gang). Så noe mer kan jeg ikke komme med.

Innlegg Vektormannen » 08/12-2012 22:07

Ja, det var bl.a. det jeg la i åpenbare problemer. :p Så lenge a > 0 så er det vel ingen problemer her; da er jo [tex]f^\prime[/tex] både eksisterende og kontinuerlig?

Innlegg Lord X » 08/12-2012 21:58

Vektormannen skrev:a)
EDIT: Jeg ser først nå at det kun står at f er kontinuerlig i oppgaven. Da vil jo ikke f nødvendigvis være deriverbar, så beviset holder jo ikke helt. Det du i stedet kan se på er at vi vet at f har et absolutt minimum og maksimum på [a,b].


Det Eksplisitt har skrive er jo at den deriverte funksjonen er kontinuerleg, så då bør vi vel kunne anta at den eksisterer. Men hadde vore greit å sett akkurat kva som som stod i oppgaven ja. Spesielt på b), ettersom den deriverte funksjonen ikkje ein gong eksisterer når x=0!

Innlegg Vektormannen » 08/12-2012 21:36

a) EDIT2: Nå ser jeg at du skrev at f derivert (vanskelig å se apostrofen) var kontinuerlig. Da er jeg med på saken :P Da ser det helt riktig ut! :)

b) Her må jo da en av forutsetninge for a) feile. Hvis a,b skal kunne være vilkårlige konstanter så får jo vi åpenbare problemer med denne funksjonen. Hva står det egentlig i oppgaven?

Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)

Innlegg Eksplisitt » 08/12-2012 20:53

God dag.

Oppgaven er denne:

a) Anta [tex]f^\prime[/tex] er kontinuerlig på [tex][a, b][/tex]. Vis at det finnes et tall K slik at

[tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]

for alle [tex]x, y \in [a, b][/tex].

b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]. Hvorfor strider ikke dette mot a)?



På oppgave a) tenkte jeg at jeg kunne gjøre slik:

Middelverdisetningen gir

[tex]f(x)-f(y)=f^\prime(c)(x-y)[/tex]

Da har vi at
[tex]|f(x)-f(y)|=|f^\prime(c)||x-y|\le K|x-y|[/tex]

der [tex]K = \max_{c\in[a,b]} |f^\prime(c)|[/tex]

Noe jeg har bommet på her?

Oppgave b) ser jeg ikke helt hvordan skal løses, så hyggelig om noen kunne komme med noen tips der.

Takk for alle innspill.

Topp