Gustav » 10/01-2019 21:15
Markus skrev:La $a(x), b(x), c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1)^4$ deler $$\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t) - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$$
La $f(x)=\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$
Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.
$f'(x)= a(x)c(x)\cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x)\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t-(a(x)d(x)\cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t+b(x)c(x)\int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t )$, så $f'(1)=0$.
Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1)^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1)^4$ deler $f(x)$ åkke som.
[quote="Markus"]La $a(x), b(x), c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1)^4$ deler $$\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t) - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$$[/quote]
La $f(x)=\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$
Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.
$f'(x)= a(x)c(x)\cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x)\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t-(a(x)d(x)\cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t+b(x)c(x)\int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t )$, så $f'(1)=0$.
Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1)^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1)^4$ deler $f(x)$ åkke som.