Julekalender, luke 6 Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Julekalender, luke 6

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 11/12-2019 21:23

zzzivert skrev:
Gustav skrev:Baltic way 2019, oppgave 1 8-)


Kult! Var du der? Jeg var faktisk med i Gdansk og Kjøbenhavn for mange år siden :)


For gammel for slike ting dessverre :(

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg zzzivert » 08/12-2019 00:21

Gustav skrev:Baltic way 2019, oppgave 1 8-)


Kult! Var du der? Jeg var faktisk med i Gdansk og Kjøbenhavn for mange år siden :)

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 07/12-2019 23:08

zzzivert skrev:Fin julikhent :D


Baltic way 2019, oppgave 1 8-)

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg zzzivert » 07/12-2019 22:42

Fin julikhet :D

La $x-y = \alpha\ge 0$ og $xy = \beta^2$ der $\beta\ge 0$. Da kan ulikheten skrives
$$\alpha(\alpha^2+3\beta^2)+z^3+1\ge 6\alpha\beta \sqrt{z},$$
siden $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)((x-y)^2+3xy) = \alpha(\alpha^2+3\beta^2)$.
La
$$f(\beta) = 3\alpha \beta^2 -6\alpha \sqrt{z} \beta +\alpha^3+z^3+1,$$
da er målet å vise at $f(\beta) \ge 0$. Siden $f$ er en andregradsfunksjon,
er dette ekvivalent med å vise at diskriminanten er mindre eller lik null:
$36\alpha^2 z -12\alpha (\alpha^3+z^3+1)\le 0 \Leftrightarrow$
$3\alpha z \le \alpha^3+z^3+1 \Leftrightarrow$
$\sqrt[3]{\alpha^3\cdot z^3\cdot 1}\le \frac{\alpha^3+z^3+1}{3},$
som stemmer ved AM-GM.

Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 06/12-2019 16:32

For alle ikkenegative reelle tall $x,y,z$ slik at $x\ge y$, bevis ulikheten $$ \frac{x^3-y^3+z^3+1}{6}\ge (x-y)\sqrt{xyz}$$.

Topp