[tex]\int \cos^2 x dx \;=\; \frac{1}{2}\int \cos 2x + 1 dx[/tex]

[tex]u=2x[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=2[/tex]
[tex]\frac{1}{2}du=dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_\: (cosu+1)\cdot \frac{1}{2}du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du=\frac{1}{4}sinu+\frac{1}{4}u+C=\frac{1}{2}sinxcos+\frac{1}{2}x+C[/tex]

Hva om jeg ikke følger det tipset,hvordan kan jeg da løse det?

Bruker delvis integrasjon for å løse [tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=sinxcosx+\int_\: sinxsinxdx=sinxcosx+(-cosx\cdot(-cosx))+C=sinxcosx+cosxcosx+C[/tex]

Hvor er feilen?Hvordan blir det da?

Oppgave 3: Løs
[tex]\int_ \: cos^2 xdx[/tex]

Prøvde:
Ved bruk av enhetsformelen skrev om til:

[tex]\int_ \: cos^2 x dx=\int_ \: 1-sin^2x dx[/tex]

Hvis riktig til hit,hva gjør man videre?

Som i første innlegg er det brukt men nå riktig polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:

[tex]\int_\: \frac{x-3}{x+3}dx=\int_\: 1-\frac{6}{x+3}dx=x-6ln|x+3|+C[/tex]. Stemmer nu.

Ok, Oppgave 3.3 Løs \int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx Prøver igjen: \int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx=\int_\: \frac{(x-3)+(x+3)}{(x+3) \cdot (x+3) }dx=\int_\: \frac{x-3}{(x+3)\cdot (x+3)}+\frac{x+3}{(x+3)\cdot(x+3)}dx=\int_\: \frac{x-3}{(x+3)\cdot(x+3)}dx+\int_\: \frac{1}{x+3} dx Hvis riktig til hit h...

Den er bare for å kontrollere svar for de som trenger det.

Oppgave 3.3 Løs \int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx Prøvde: Bruker polynomdivisjon og får; x^2+0x-9\: :\: (x^2+6x+9)=1-\frac{6x-18}{x^2+6x+9} x^2+6x+9 ----------------- \; \:\: -6x-18 Faktoriserer nevneren; \frac{6x-18}{x^2+6x+9}=\frac{6x-18}{(x+3) \cdot (x+3) Delbrøkoppspalting gir: \frac{6x-18}{(x+3)...

Substitusjon gir:

[tex]\frac{du}{dx}=cosx | \cdot dx[/tex]
[tex]du=cosxdx[/tex]

[tex]\int_\: \frac{cosx}{sinx}dx=\int_\: \frac{1}{sinx} \cdot cosxdx=\int_\: \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|sinx|+C[/tex]

Takker.

Oppgave 1,1:
Løs

[tex]\int_\: \frac{cosx}{sinx}dx[/tex]

Hvordan går man frem her?

Hvordan kom du fram til denne ideen?

Med mer forklaring ;
Oppgave : Løs

[tex]\int_ \:4x^3 \cdot ln(x^4+3)dx[/tex]


[tex]u=(x^4+3)[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=4x^3[/tex]

[tex]du=4x^3dx[/tex]


[tex]\int_\:1 \cdot ln(x^4+3)\cdot 4x^3dx[/tex]

[tex]\int_\:1 \cdot lnu du=u \cdot lnu-\int_\:u \cdot \frac{1}{u}du=u\cdot lnu -u+C=(x^4+3)\cdot ln(x^4+3)-(x^4+3)+C[/tex]

Prøver igjen men nå med substitusjon ;
Oppgave : Løs

[tex]\int_ \:4x^3 \cdot ln(x^4+3)dx[/tex]


[tex]u=(x^4+3)[/tex]

[tex]\int_\:1 \cdot lnu du=u \cdot lnu-\int_\:u \cdot \frac{1}{u}du=u\cdot lnu -u+C=(x^4+3)\cdot ln(x^4+3)-(x^4+3)+C[/tex]

Riktig nå?

Oppgave : Løs \int_ \:4x^3 \cdot ln(x^4+3)dx Prøvde slik: u`(x)=4x^3 u(x)=x^4 v(x)=ln(x^4+3) v`(x)=\frac{4x^3}{x^4+3} \int_ \:4x^3 \cdot ln(x^4+3)dx=x^4 \cdot ln(x^4+3)-\int_\: x^4 \cdot \frac{4x^3}{x^4+3}dx \int_ \:4x^3 \cdot ln(x^4+3)dx=x^4 \cdot ln(x^4+3)-4 \int_\: x^7 \cdot \frac{1}{x^4+3}dx \in...