Hvor mange forskjellige tall kan skrives på formen
$\pm1\pm2\pm3\pm\cdots\pm99\pm100$,
gitt at alle mulige kombinasjoner av fortegn er tillatt?

plutarco skrev: Ok, tenker du på å vise at $det(A)=\prod_{i<j}(r_j-r_i)$ direkte?

Ja, nettopp. Oppgaveformuleringen var et forsøk på å ikke gi bort formelen umiddelbart.

Den første implikasjonen er jo ganske klar. Angående den andre, så hadde jeg egentlig et litt mer elementært algebraisk bevis i tankene, siden hensikten var egentlig å benytte dette resultatet til å nettopp vise at funksjonene $\{e^{r_ix}\}_{i=1}^n$ er lineært uavhengige hvis og bare hvis $r_1,...,r...

La $r_1, r_2, \cdots, r_n$ være reelle tall og definer en matrise $A$ ved \[ A = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ r_1 & r_2 & \cdots & r_n \\ r_1^2 & r_2^2 &\cdots & r_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_1^{n-1} & r_2^{n-...

Det virker som du har misforstått oppgaveteksten litt. Med 'real value' menes det ikke den reelle delen av det komplekse tallet $x+y$. I dette tilfellet bruker man 'real part' i stedet, eventuelt $Re(x+y)$. Det vil si at oppgaveteksten faktisk spør etter løsningen som gjør $x+y$ reell og maksimerer ...

Oppgaven spør etter den største reelle verdien $x+y$ kan ha. Det vil si at vi kun er interessert i løsninger som gjør summen $x+y$ reell. Dermed er det lurt å gjøre antagelsen om at $x+y=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{R}$, hvilket medfører at $b+d=0$. Slik fasiten er skrevet blir dette da en antagelse og ik...

Trekantene er ikke rettvinklede så arealformelen du benytter gjelder ikke.
Du burde heller benytte at hvis to trekanter er formlike med forhold $d$, så
er forholdet mellom arealene $d^2$ (dette er ikke så vanskelig å vise).

Som Nebu sier vil sentrum i sirkelen ligge på midtnormalen mellom to vilkårlige punkter på sirkelen. Dermed hvis vi finner et tredje punkt, $T$ på sirkelen kan konstruksjonen utføres som følger. Konstruer midtnormalen på $PQ$ og kall denne linja $m$. På samme vis konstruer midtnormalen på $PT$ og ka...

Samme svar på begge oppgavene $\binom{11}{5}=\binom{11}{6}$. Dette kommer av at
vi velger fem varer uten å bry oss om rekkefølgen til pose A, og de resterende seks havner
i pose B.

Takk for at du påpekte det! Med fare for å spørre om noe åpenbart: hvordan så du at odde multipler av $3$ for $s$ gjorde $7^s\equiv 1 \mod 9$? Selv brukte jeg Euler's setning, og antok feilaktig at det kun var $s$-verdiene på formen $s=a(\phi(9))$ som gjorde $7^s\equiv 1 \mod 9$. Selvfølgelig ingen...

I modulo $9$ får vi $7^s-1\equiv 0$ når $m\geq 2$, som gir at $6\mid s$, noe som motsier at $s$ er odd. Dette argumentet holder ikke helt. $7^s\equiv 1\mod{9}$ medfører kun at $3|s$, så det blir ingen motsigelse. Det skal dog ikke så veldig mye til før vi er i mål. For $r\geq 2$ setter vi $y=s=3q$....

2b) La $y_n$ være den maksimale sluttformuen Nils kan sikre seg i et spill med $n$ røde baller. Vi beviser ved induksjon at $y_n=\frac{2^n}{n+1}s$, hvor $s$ er startformuen. Merk at i oppgaven settes startformuen til $1$, men for at induksjonsbeviset skal fungere må resultatet formuleres for en vilk...

2a) Anta uten tap av generalitet at $a\geq b\geq c$. At det finnes en trekant med sidelengder $a+\frac12, b+\frac12, c+\frac12$ vil bare si at disse lengdene oppfyller trekantulikheten, altså at $b+c+1> a+\frac12 \Leftrightarrow b+c\geq a$ (de andre to ulikheten holder trivielt fra antakelsen $a\geq...

3) La femkanten ha side $s$ og la $P$ være et vilkårlig punkt inne i den. Trekk et linjestykke fra hvert enkelt hjørne til $P$, i tillegg til normalene fra $P$ ned på de forskjellige forlengelsene av kantene. Arealet av femkanten er nå $A=\frac12 s(d_1+d_2+d_3+d_4+d_5)$. Ved AM-GM får vi da at $\fra...

Jeg er litt usikker på hva du mener med å finne vinkelen til en fjerdedel av dett punktet, men her er en mulig framgangsmåte til det du sier skal bevises. Vinkelsummen i både trekant $ABC$ og $ASC$ er $180$ grader. Sett disse uttrykkene lik hverandre og løs så for $\angle{ASC}$, hvor du benytter at ...